Указать порядок дифференциального уравнения онлайн. Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача коши
Дифференциальное уравнение (ДУ)
- это уравнение ,
где - независимые переменные, y
- функция и - частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .
Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.
Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.
Вот пример уравнения первого порядка:
Вот пример уравнения четвертого порядка:
Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:
В этом случае переменные x
и y
являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x
так и y
.
В первом случае y
является функцией от x
.
Во втором случае x
является функцией от y
.
Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′
.
Разделив это уравнение на dx
,
мы получим:
.
Поскольку и ,
то отсюда следует, что
.
Решение дифференциальных уравнений
Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:
- явную зависимость функции от переменной;
Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
- неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y)
= 0
или системы уравнений;
Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
- зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;
Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
- решение может не выражается через элементарные функции.
Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Как решать дифференциальные уравнения первого порядка
Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на ,
при ,
мы получим уравнение вида:
,
где .
Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на .
Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.
Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении - независимая переменная, а - это функция от .
Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.
Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что .
Тогда делаем подстановку .
После этого уравнение примет более простой вид:
.
Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель.
Уравнения с разделяющимися переменными
;
.
Делим на и интегрируем. При получаем:
.
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Решаем подстановкой:
,
где - функция от .
Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.
Уравнения, приводящиеся к однородным
Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
Обобщенные однородные уравнения
Делаем подстановку .
Получаем однородное уравнение в переменных и .
Линейные дифференциальные уравнения
Есть три метода решения линейных уравнений.
2)
Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
3)
Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где - постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию ,
зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
Уравнения Бернулли
Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.
Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив ,
получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Уравнения Риккати
Оно не решается в общем виде. Подстановкой
уравнение Риккати приводится к виду:
,
где - постоянная; ;
.
Далее, подстановкой:
оно приводится к виду:
,
где .
Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>
Уравнения Якоби
Решается подстановкой:
.
Уравнения в полных дифференциалах
При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.
Для нахождения функции ,
наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.
Интегрирующий множитель
Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель .
Интегрирующий множитель - это такая функция,
при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
Уравнения, не решенные относительно производной y"
Уравнения, допускающие решение относительно производной y"
Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.
Уравнения, допускающие разложение на множители
Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;
;
.
Полагаем .
Тогда
или .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .
Более общие уравнения:
или
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию ,
чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр ,
интегрируем уравнение:
;
.
Уравнения, разрешенные относительно y
Уравнения Клеро
Такое уравнение имеет общее решение
Уравнения Лагранжа
Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем ,
где - параметр.
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли
Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета
заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения
При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.
Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :
Здесь
x
– независимая переменная, y
– искомая функция,
-
производные искомой функции. При этом
в соотношении (1) обязательно наличие
хотя бы одной производной.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
(2)
Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде
,
(3)
то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.
Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида
которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.
Так
как
,
то уравнение (3) можно записать в виде
или
,
где можно считать
и
.
Это означает, что уравнение (3) преобразовано
в уравнение (4).
Запишем
уравнение (4) в виде
.
Тогда
,
,
,
где можно считать
, т.е. получено уравнение вида (3). Таким
образом, уравнения (3) и (4) равносильны.
Решением
дифференциального уравнения
(2) или (3) называется любая функция
,
которая при подстановке её в уравнение
(2) или (3) обращает его в тождество:
или
.
Процесс
нахождения всех решений дифференциального
уравнения называется его интегрированием
,
а график решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной
кривой
этого уравнения.
Если
решение дифференциального уравнения
получено в неявном виде
,
то оно называетсяинтегралом
данного дифференциального уравнения.
Общим
решением
дифференциального уравнения первого
порядка называется семейство функций
вида
,
зависящее от произвольной постояннойС
,
каждая из которых является решением
данного дифференциального уравнения
при любом допустимом значении произвольной
постоянной С
.
Таким образом, дифференциальное уравнение
имеет бесчисленное множество решений.
Частным
решением
дифференциального уравнения называется
решение, получаемое из формулы общего
решения при конкретном значении
произвольной постоянной С
,
включая
.
Задача Коши и её геометрическая интерпретация
Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.
Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.
Формулируется
задача Коши следующим образом: среди
всех решений уравнения (2) найти такое
решение
,
в котором функция
принимает заданное числовое значение
,
если независимая переменная
x
принимает заданное числовое значение
,
т.е.
,
,
(5)
где
D
– область определения функции
.
Значение
называетсяначальным
значением функции
,
а
– начальным
значением независимой переменной
.
Условие (5) называется начальным
условием
или условием
Коши
.
С
геометрической точки зрения задачу
Коши для дифференциального уравнения
(2) можно сформулировать следующим
образом: из
множества интегральных кривых уравнения
(2) выделить ту, которая проходит через
заданную точку
.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:
.
(6)
Учитывая,
что
,
запишем уравнение в виде
или
.
Интегрируя обе части последнего
уравнения, получим:
или
.
(7)
Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).
Пример
1
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Запишем уравнение в виде
или
.
Проинтегрируем обе части полученного
уравнения:
,
.
Окончательно запишем
.
Пример
2
.
Найти решение уравнения
при условии
.
Решение
.
Найдём общее решение уравнения:
,
,
,
.
По условию
,
.
Подставим в общее решение:
или
.
Найденное значение произвольной
постоянной подставим в формулу общего
решения:
.
Это и есть частное решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданному
условию.
Уравнение
(8)
Называется
дифференциальным
уравнением первого порядка, не содержащим
независимой переменной
.
Запишем его в виде
или
.
Проинтегрируем обе части последнего
уравнения:
или
- общее решение уравнения (8).
Пример
.
Найти общее решение уравнения
.
Решение
.
Запишем это уравнение в виде:
или
.
Тогда
,
,
,
.
Таким образом,
– общее решение данного уравнения.
Уравнение вида
(9)
интегрируется
с помощью разделения переменных. Для
этого уравнение запишем в виде
,
а затем с помощью операций умножения и
деления приводим его к такой форме,
чтобы в одну часть входила только функция
отх
и дифференциал dx
,
а во вторую часть – функция от у
и дифференциал dy
.
Для этого обе части уравнения нужно
умножить на dx
и разделить на
.
В результате получим уравнение
,
(10)
в
котором переменные х
и у
разделены. Проинтегрируем обе части
уравнения (10):
.
Полученное соотношение является общим
интегралом уравнения (9).
Пример
3
.
Проинтегрировать
уравнение
.
Решение
.
Преобразуем уравнение и разделим
переменные:
,
.
Проинтегрируем:
,
или – общий интеграл данного уравнения.
.
Пусть уравнение задано в виде
Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.
Для
разделения переменных нужно обе части
уравнения разделить на
:
.
(12)
Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):
.
(13)
Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).
Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .
Решение . Запишем уравнение в виде
и
разделим обе его части на
,
.
Полученное уравнение:
является уравнением с разделёнными
переменными. Проинтегрируем его:
,
,
,
.
Последнее равенство является общим
интегралом данного дифференциального
уравнения.
Пример
5
.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее условию
.
Решение
.
Учитывая, что
,
запишем уравнение в виде
или
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем это уравнение:
,
,
.
Полученное соотношение является общим
интегралом данного уравнения. По условию
.
Подставим в общий интеграл и найдёмС
:
,С
=1.
Тогда выражение
является частным решением данного
дифференциального уравнения, записанным
в виде частного интеграла.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
(14)
называется
линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка
.
Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение
линейно, а функции
и
непрерывны.
Если
,
то уравнение
(15)
называется
линейным
однородным
.
Если
,
то уравнение (14) называетсялинейным
неоднородным
.
Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.
Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций
,
(16)
где
и
-
некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):
Функцию
v
будем подбирать таким образом, чтобы
выполнялось условие
.
Тогда
.
Таким образом, для нахождения решения
уравнения (14) нужно решить систему
дифференциальных уравнений
Первое
уравнение системы является линейным
однородным уравнением и решить его
можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
.
В качестве функции
можно
взять одно из частных решений однородного
уравнения, т.е. приС
=1:
.
Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
.
Таким образом, общее решение линейного
дифференциального уравнения первого
порядка имеет вид
.
Пример
6
.
Решить уравнение
.
Решение
.
Решение уравнения будем искать в виде
.
Тогда
.
Подставим в уравнение:
или
.
Функциюv
выберем таким образом, чтобы выполнялось
равенство
.
Тогда
.
Решим первое из этих уравнений методом
разделения переменных:
,
,
,
,
.
Функциюv
подставим во второе уравнение:
,
,
,
.
Общим решением данного уравнения
является
.
Вопросы для самоконтроля знаний
Что называется дифференциальным уравнением?
Что называется порядком дифференциального уравнения?
Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?
Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Что называется интегральной кривой?
Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?
Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?
Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?
Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?
Задания для самостоятельной работы
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Конспект лекций по
дифференциальным уравнениям
Дифференциальные уравнения
Введение
При изучении некоторых явлений часто возникает ситуация, когда процесс не удаётся описать с помощью уравнения y=f(x) или F(x;y)=0. Помимо переменной х и неизвестной функции, в уравнение входит производная этой функции.
Определение: Уравнение, связывающее переменную х, неизвестную функцию y(x) и её производные называется дифференциальным уравнением . В общем виде дифференциальное уравнение выглядит так:
F(x;y(x);
;
;...;y (n))=0
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в него старшей производной.
–дифференциальное
уравнение 1 порядка
–дифференциальное
уравнение 3 порядка
Определение: Решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение:
Уравнение вида
=f(x;y)
или F(x;y;
)=0называется
дифференциальным уравнением 1 порядка.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция y=γ(x;c), где (с –const), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Геометрически на плоскости общим решением соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от параметра с.
Определение: Интегральная кривая, проходящая через точку плоскости с координатами (х 0 ;y 0) соответствует частному решению дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию:
Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
Дано дифференциальное
уравнение 1 порядка
и
функцияf(x;y)
непрерывна вместе с частными производными
в некоторой области D
плоскости XOY,
тогда через точку М 0 (х 0 ;y 0)
D
проходит единственная кривая
соответствующая частному решению
дифференциального уравнения
соответствующему начальному условию
y(x 0)=y 0
Через точку плоскости с данными координатами проходит 1 интегральная кривая.
Если не удаётся
получить общее решение дифференциального
уравнения 1 порядка в явном виде, т.е
,
то его можно получить в неявном виде:
F(x; y; c) =0 – неявный вид
Общее решение в таком виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
По отношению к дифференциальному уравнению 1 порядка ставится 2 задачи:
1)Найти общее решение (общий интеграл)
2)Найти частное решение (частный интеграл) удовлетворяющее заданному начальному условию. Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида:
называется дифференциальным уравнением
с разделяющимися переменными.
Подставим
умножим на dx
разделим переменные
разделим на
Замечание:
обязательно нужно рассматривать частный
случай, когда
переменные разделены
проинтегрируем обе части уравнения
- общее решение
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде:
Отдельный случай
!
Проинтегрируем обе части уравнения:
1)
2)
нач. условия:
Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение:
Функция
называется однородной порядкаn,
если
Пример: - однородная функция порядкаn=2
Определение: Однородная функция порядка 0 называется однородной .
Определение:
Дифференциальное
уравнение
называется однородным, если
-
однородная функция, т.е
Таким образом однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:
С помощью замены
,
гдеt
– функция переменной х, однородное
дифференциальное уравнение сводится
к уравнению с разделяющимися переменными.
-
подставим в уравнение
Переменные разделены, проинтегрируем обе части уравнения
Сделаем обратную
замену, подставив вместо
, получим общее решение в неявном виде.
Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в дифференциальной форме.
M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, где M(x;y) и N(x;y) – однородные функции одинакового порядка.
Разделим на dx
и выразим
1)
Данный онлайн калькулятор позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн. Достаточно в соответствующее поле ввести ваше уравнение, обозначая через апостроф " производную от функции и нажать на кнопку "решить уравнение". И система, реализованная на основе популярного сайта WolframAlpha выдаст подробное решение дифференциального уравнения абсолютно бесплатно. Вы можете также задать задачу Коши, чтобы из всего множества возможных решений выбрать частное соответствующее заданным начальным условиям. Задача Коши вводится в отдельном поле.
Дифференциальное уравнение
По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x . Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t . С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или неразделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание. Дифференциальные уравнения очень часто встречаются в физике и математике. Без их вычисления невозможно решать многие задачи (особенно в математической физике).
Одним из этапов решения дифференциальных уравнений является интегрирование функций . Есть стандартные методы решений дифференциальных уравнений. Необходимо привести уравнения к виду с разделяющимися переменными y и x и отдельно проинтегрировать разделенные функции. Чтобы это сделать иногда следует провести определенную замену.
