«учебник по дискретной математике днф, сднф, кнф, скнф. Специальные представления булевых функций Конъюнктивной нормальной формой логической функции
Простой дизъюнкцией { англ. inclusive disjunction } или дизъюнктом { англ. disjunct } называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Простая дизъюнкция
- полная , если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно один раз;
- монотонная , если она не содержит отрицаний переменных.
Конъюнктивная нормальная форма, КНФ { англ. conjunctive normal form, CNF } нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.
Пример КНФ: $f(x,y) = (x \lor y) \land (y \lor \neg { z })$
СКНФ
Совершенная конъюнктивная нормальная форма, СКНФ { англ. perfect conjunctive normal form, PCNF } - это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям:
- в ней нет одинаковых простых дизъюнкций
- каждая простая дизъюнкция полная
Пример СКНФ: $f(x,y,z) = (x \lor \neg { y } \lor z) \land (x\lor y \lor \neg { z })$
Теорема: Для любой булевой функции $f(\vec { x })$, не равной тождественной единице, существует СКНФ, ее задающая.
Доказательство: Поскольку инверсия функции $\neg { f } (\vec x)$ равна единице на тех наборах, на которых $f(\vec x)$ равна нулю, то СДНФ для $\neg { f } (\vec x)$ можно записать следующим образом:
$\neg { f } (\vec x) = \bigvee\limits_ { f(x^ { \sigma_ { 1 } } , x^ { \sigma_ { 2 } } , ... ,x^ { \sigma_ { n } }) = 0 } (x_ { 1 } ^ { \sigma_ { 1 } } \wedge x_ { 2 } ^ { \sigma_ { 2 } } \wedge ... \wedge x_ { n } ^ { \sigma_ { n } }) $, где $ \sigma_ { i } $ обозначает наличие или отсутствие отрицание при $ x_ { i } $
Найдём инверсию левой и правой части выражения:
$ f(\vec x) = \neg ({ \bigvee\limits_ { f(x^ { \sigma_ { 1 } } , x^ { \sigma_ { 2 } } , ... ,x^ { \sigma_ { n } }) = 0 } (x_ { 1 } ^ { \sigma_ { 1 } } \wedge x_ { 2 } ^ { \sigma_ { 2 } } \wedge ... \wedge x_ { n } ^ { \sigma_ { n } }) }) $
Применяя дважды к полученному в правой части выражению правило де Моргана, получаем: $ f(\vec x) = \bigwedge \limits_ { f(x^ { \sigma_1 } , x^ { \sigma_2 } , \dots ,x^ { \sigma_n }) = 0 } $ $(\neg { x_1^ { \sigma_1 } } \vee \neg { x_2^ { \sigma_2 } } \vee \dots \vee \neg { x_n^ { \sigma_n } }) $
Последнее выражение и является СКНФ. Так как СКНФ получена из СДНФ, которая может быть построена для любой функции, не равной тождественному нулю, то теорема доказана.
Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности
- В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно $0$.
- Для каждого отмеченного набора записываем дизъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть $0$, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
- Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.
Пример построения СКНФ для медианы
1). В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно $0$.
| x | y | z | $ \langle x,y,z \rangle $ |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
2). Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть $0$, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
| x | y | z | $ \langle x,y,z \rangle $ | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | $(x \lor y \lor z)$ |
| 0 | 0 | 1 | 0 | $(x \lor y \lor \neg { z })$ |
| 0 | 1 | 0 | 0 | $(x \lor \neg { y } \lor z)$ |
| 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | $(\neg { x } \lor y \lor z)$ |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
3). Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.
$ \langle x,y,z \rangle = (x \lor y \lor z) \land (\neg { x } \lor y \lor z) \land (x \lor \neg { y } \lor z) \land (x \lor y \lor \neg { z })$
Примеры СКНФ для некоторых функций
Стрелка Пирса: $ x \downarrow y = (\neg { x } \lor { y }) \land ({ x } \lor \neg { y }) \land (\neg { x } \lor \neg { y }) $
Исключающее или: $ x \oplus y \oplus z = (\neg { x } \lor \neg { y } \lor z) \land (\neg { x } \lor y \lor \neg { z }) \land (x \lor \neg { y } \lor \neg { z }) \land (x \lor y \lor z)$
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы алгебры высказываний. Для каждой функции логики высказываний можно составить таблицу истинности. Обратная задача тоже всегда разрешима. Введем несколько определений.
Элементарными конъюнкциями (конъюнктами) называются конъюнкции переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более
одного раза.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций.
Элементарными дизъюнкциями (дизъюнктами) называются дизъюнкции переменных с отрицаниями или без них.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется формула, имеющая вид конъюнкции элементарных дизъюнкций.
Для каждой функции алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.
Алгоритм построения ДНФ:
1. Перейти к булевым операциям, используя формулы эквивалентных преобразований.
2. Перейти к формулам с тесными отрицаниями, то есть к формуле, в которой отрицания располагаются не выше, чем над переменными – применить законы де Моргана.
3. Раскрыть скобки – применить законы дистрибутивности.
4. Повторяющиеся слагаемые взять по одному разу – закон идемпотентности.
5. Применить законы поглощения и полупоглощения.
Пример 6. Найти ДНФ формулы: .
В алгебре Буля справедлив принцип двойственности . Он заключается в следующем.
Функция называется двойственной к функции , если . Т.е. для нахождения функции, двойственной к заданной, необходимо построить отрицание функции от отрицаний аргументов.
Пример 7. Найти функцию, двойственную к .
Среди элементарных функций алгебры логики 1 двойственна 0 и наоборот, х двойственна х, двойственна , двойственна и наоборот.
Если в формуле F 1 представляющей функцию все конъюнкции заменить
на дизъюнкции, дизъюнкции на конъюнкции, 1 на 0, 0 на 1, то получим формулу F * , представляющую функцию * , двойственную .
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – двойственное для ДНФ понятие, поэтому ее легко построить по схеме:
Пример 8. Найти КНФ формулы: .
Воспользовавшись результатом примера 6, имеем
Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы. В каждом из типов нормальных форм (дизъюнктивных и конъюнктивных) можно выделить класс совершенных форм СДНФ и СКНФ.
Совершенной элементарной конъюнкцией называется логическое произведение всех переменных с отрицанием или без них, причем, каждая переменная входит в произведение только один раз.
Всякую ДНФ можно привести к СДНФ расщеплением конъюнкций, которые содержат не все переменные, т.е. добавлением для отсутствующей переменной x i множится с применением закона дистрибутивности
Пример 9. Найти СДНФ для ДНФ примера 6
Совершенной элементарной дизъюнкцией называется логическая сумма всех переменных с отрицаниями или без них, причем, каждая переменная входит в сумму только один раз.
Всякую КНФ можно привести к СКНФ, добавляя член конъюнкции, не содержащий какой – либо переменной X i конъюнкцией и применяя дистрибутивный закон
Пример 10 . Привести КНФ к СКНФ:
Для построения СКНФ можно воспользоваться схемой
Пример 11. Найти СКНФ для формулы примера 6.
Всякая функция имеет СДНФ и, притом, единственную . Каждая функция имеет СКНФ и, притом, единственную .
Т.к. СДНФ и СКНФ определены формулами однозначно, их можно строить по таблице истинности формулы.
Для построения СДНФ необходимо выделить строки, в которых F принимает значение 1 и записать для них совершенные элементарные конъюнкции. Если значение переменной в нужной строке таблицы истинности равно единице, то в совершенном конъюнкте она берется без отрицания, если нулю – то с отрицанием. Затем совершенные конъюнкты (их число равно числу единиц в таблице) соединяются знаками дизъюнкции.
Для построения СКНФ по таблице истинности необходимо выделить в ней строки, где F=0, и записать совершенные элементарные дизъюнкции, после чего соединить их знаками конъюнкции. Если в требуемой строке таблицы истинности (F=0) значение переменной соответствует нулю, то в совершенном дизъюнкте она берется без отрицания, если единице – то с отрицанием.
Пример 12. Найти СДНФ и СКНФ по таблице истинности для формулы примера 6.
В таблице 14 приведено лишь конечное значение F=10101101. В справедливости этого утверждения следует убедиться самостоятельно, построив развернутую таблицу истинности.
Таблица 14
| x | y | z | ||
Стандартный базис. Элементарные формулы - литералы. Элементарная конъюнкция (дизъюнкция). Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма и совершенная форма. Теорема: любая булева функция, отличная от 0 (от 1) представима в виде СДНФ (СКНФ). Полнота стандартного базиса. Примеры полных базисов: базис Жегалкина, штрих Шеффера, стрелка Пирса.
Стандартный базис - это набор из трех исходных операций булевой алгебры: сложения (объединения), умножения (пересечения) и отрицания.
Здесь мы будем называть литералом переменную x или ее отрицание x и обозначать xˆ. Булево пересечение нескольких литералов, определяемых различными переменными, т.е. выражение вида X = xˆ 1 xˆ 2 . . . xˆ л, называется элементарной конъюнкцией . Требование, чтобы все переменные были различны обусловливается следующим. Если в конъюнкцию входит несколько одинаковых литералов, то в силу коммутативности, ассоциативности и идемпотентности конъюнкции можно, переходя к эквивалентной формуле, оставить лишь один литерал (например, x 1 x 1 = x 1). Если в конъюнкцию входит переменная и ее отрицание, то формула эквивалентна константе 0, поскольку x x = 0 и для любой формулы Y имеем Y x x = 0.
Дизъюнкция нескольких элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой , или ДНФ . Например,
x 1 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 .
Если состав переменных в каждой элементарной конъюнкции данной ДНФ один и тот же, то ДНФ называется совершенной . Приведенный пример - это ДНФ, не являющаяся совершен- ной. Напротив, формула
x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4
есть совершенная форма.
Поскольку в булевой алгебре сложение и умножение - симметричные операции и всегда можно интерпретировать сложение как умножение, а умножение как сложение, существует и двойственное понятие - конъюнктивная нормальная форма (КНФ ), представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, и совершенная конъюнктивная форма (СКНФ ). Из принципа двойственности для симметричных полуколец вытекает, что любому утверждению относительно ДНФ отвечает двойственное утверждение относительно КНФ, которое получается заменой сложения (дизъюнкции) умножением, умножения (конъюнкции) сложением, константы 0 константой 1, константы 1 константой 0, отношения порядка двойственным (обратным) порядком. Поэтому далее мы остановимся на изучении только ДНФ.
Теорема 1.4. Любая булева функция, отличная от константы 0 представима в виде СДНФ.
◀Условимся под x σ понимать формулу x, если σ = 1, и формулу x , если σ = 0. Пусть функция f(y 1 , . . . , y n) принимает значение 1 на векторе (t 1 , . . . , t n) (такой вектор называют конституэнтой единицы ). Тогда элементарная конъюнкция также принимает значение 1 на этом наборе, но обращается в нуль на всех остальных n-мерных булевых векторах. Рассмотрим формулу
в которой сумма (объединение) распространяется на все те наборы (t 1 , . . . , t n) значений аргументов, на которых заданная функция принимает значение 1. Отметим, что множество таких наборов не пусто, так что в сумме есть по крайней мере одно слагаемое.
Нетрудно заметить, что формула Φ обращается в 1 при тех, и только при тех значениях переменных, при которых обращается в 1 рассматриваемая функция. Значит, формула Ψ представляет функцию f.
Следствие 1.1. Стандартный базис является полным.
◀ Действительно, если функция не является константой 0, то она представима либо в виде СДНФ, которая является формулой над стандартным базисом. Константу 0 можно представить, например, формулой f(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x 1 x 1 .
Пример 1.2. Рассмотрим функцию трех переменных m(x 1 , x 2 , x 3) (табл. 1.4), называемую мажоритарной функциеи ̆. Эта функция принимает значение 1, если больше половины ее аргументов имеют значение 1. Поэтому ее часто называют функцией голосования. Построим для нее СДНФ.
Полнота стандартного базиса позволяет подбирать и другие полные системы функций. Полнота множества F может быть установлена из следующих соображений. Предположим, каждая из трех функций стандартного бузиса представима формулой над F . Тогда в силу теоремы 1.3 иножество F будет полным.
Пример 1.3. Множество из операций сложения по модулю 2, умножения и константы 1 называют базисом Жегалкина . Сложение по модулю 2 и умножение - базовые операции кольца Z2, выражения, составленные с их помощью - это многочлены над кольцом Z2. Кон- станта 1 в данном случае необходима для записи свободного члена. Поскольку xx = x, то все сомножители в многочлене имеют степень 1. Поэтому при записи многочлена можно обойтись без понятия степени. Примеры формул над базисом Жегалкина:
xy⊕x⊕y, x⊕1, xyz⊕xz⊕x⊕y⊕1.
Любую такую формулу называют полиномом Жегалкина. Фактически полином Жегалкина - это многочлен над кольцом Z2.
Нетрудно сконструировать формулы над базисом Жегалкина, представляющие операции сложения и отрицания стандартного базиса (умножение у двух базисов общее):
x+y=x⊕y⊕xy, x =x⊕1.
Поэтому базис Жегалкина - полное множество.
Можно показать, что для любой булевой функции полином Жегалкина определен однозначно
(точнее, с точностью до порядка слагаемых). Коэффициенты полинома Жегалкина при небольшом количестве переменных можно найти методом неопределенных коэффициентов.
Пример 1.4. Рассмотрим множество из единственной функции - штриха Шеффера*. Это множество полно, что следует из следующих легко проверяемых тождеств:
x =x|x, xy=x|y =(x|y)|(x|y), x+y=x |y =(x|x)|(y|y).
Пример 1.5. Базис, состоящий из единственной функции - стрелки Пирса, также является полным. Проверка этого аналогична случаю штриха Шеффера. Впрочем, это заключение можно сделать и на основании принципа двойственности для симметричных полуколец.
*Штрих Шеффера - бинарная, но не ассоциативная операция. Поэтому при использовании инфиксной формы следует быть внимательным: результат зависит от порядка выполнения операций. В этом случае рекомендуется явно указывать порядок операций при помощи скобок, например писать (x | y) | z, а не x | y | z, хотя обе формы равнозначны.
Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем . Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: закон двойного отрицания , закон де Моргана , дистрибутивность .
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Формулы в КНФ :
¬ A ∧ (B ∨ C) , {\displaystyle \neg A\wedge (B\vee C),} (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C ∨ ¬ D) ∧ (D ∨ ¬ E) , {\displaystyle (A\vee B)\wedge (\neg B\vee C\vee \neg D)\wedge (D\vee \neg E),} A ∧ B . {\displaystyle A\wedge B.}Формулы не в КНФ :
¬ (B ∨ C) , {\displaystyle \neg (B\vee C),} (A ∧ B) ∨ C , {\displaystyle (A\wedge B)\vee C,} A ∧ (B ∨ (D ∧ E)) . {\displaystyle A\wedge (B\vee (D\wedge E)).}Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:
¬ B ∧ ¬ C , {\displaystyle \neg B\wedge \neg C,} (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) , {\displaystyle (A\vee C)\wedge (B\vee C),} A ∧ (B ∨ D) ∧ (B ∨ E) . {\displaystyle A\wedge (B\vee D)\wedge (B\vee E).}Построение КНФ
Алгоритм построения КНФ
1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:
A → B = ¬ A ∨ B , {\displaystyle A\rightarrow B=\neg A\vee B,} A ↔ B = (¬ A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬ B) . {\displaystyle A\leftrightarrow B=(\neg A\vee B)\wedge (A\vee \neg B).}2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:
¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B , {\displaystyle \neg (A\vee B)=\neg A\wedge \neg B,} ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B . {\displaystyle \neg (A\wedge B)=\neg A\vee \neg B.}3) Избавиться от знаков двойного отрицания.
4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.
Пример построения КНФ
Приведем к КНФ формулу
F = (X → Y) ∧ ((¬ Y → Z) → ¬ X) . {\displaystyle F=(X\rightarrow Y)\wedge ((\neg Y\rightarrow Z)\rightarrow \neg X).}Преобразуем формулу F {\displaystyle F} к формуле, не содержащей → {\displaystyle \rightarrow } :
F = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ Y → Z) ∨ ¬ X) = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ ¬ Y ∨ Z) ∨ ¬ X) . {\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\wedge (\neg (\neg Y\rightarrow Z)\vee \neg X)=(\neg X\vee Y)\wedge (\neg (\neg \neg Y\vee Z)\vee \neg X).}В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:
F = (¬ X ∨ Y) ∧ ((¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ ¬ X) . {\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\wedge ((\neg Y\wedge \neg Z)\vee \neg X).}Например, следующая формула записана в 2-КНФ:
(A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬ C) . {\displaystyle (A\lor B)\land (\neg B\lor C)\land (B\lor \neg C).}Введем понятие элементарной дизъюнкции.
Элементарной дизъюнкцией называется выражение вида
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) логической функции называется конъюнкция любого конечного множества попарно различных элементарных дизъюнкций. Например, логические функции
представляют собой конъюнкции элементарных дизъюнкций. Следовательно, они записаны в конъюнктивной нормальной форме.
Произвольная логическая функция, заданная аналитическим выражением, может быть приведена к КНФ путем выполнения следующих операций:
Использования правила инверсии, если операция отрицания применена к логическому выражению;
Использования аксиомы дистрибутивности относительно умножения:
Использования операции поглощения:
Исключения в дизъюнкциях повторяющихся переменных или их отрицаний;
Удаления всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной;
Удаления всех дизъюнкций, в которые одновременно входят переменная и ее отрицание.
Справедливость перечисленных операций вытекает из основных аксиом и тождественных соотношений алгебры логики.
Конъюнктивная нормальная форма называется совершенной, если каждая входящая в нее элементарная дизъюнкция содержит в прямом или инверсном виде все переменные, от которых зависит функция.
Преобразование КНФ к совершенной КНФ осуществляется путем выполнения следующих операций:
Прибавления к каждой элементарной дизъюнкции конъюнкций переменных и их отрицаний, если они не входят в данную элементарную дизъюнкцию;
Использования аксиомы дистрибутивности;
Удаление всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной.
В совершенной КНФ может быть представлена любая логическая функция, кроме
тождественно равной единице (). Отличительным свойством совершенной КНФ является то, что представление в ней логической функции единственно.
Элементарные дизъюнкции, входящие в совершенную КНФ функции, носят название конституент нуля. Каждая конституента нуля, входящая в совершенную КНФ, обращается в нуль на единственном наборе значений переменных, который является нулевым набором функции. Следовательно, число нулевых наборов логической функции совпадает с числом конституент нуля, входящих в ее совершенную КНФ.
Логическая функция константа нуля в совершенной КНФ представляется конъюнкцией 2nконституент нуля. Сформулируем правило составления СКНФ логической функции по таблице соответствия.
Для каждой строки таблицы соответствия, в которой функция равна нулю, составляется элементарная дизъюнкция всех переменных. При этом в дизъюнкцию входит сама переменная, если ее значение равно нулю, или отрицание, если ее значение равно единице. Полученные элементарные дизъюнкции объединяются знаком конъюнкции.
Пример 3.4. Для логической функции z(x), заданной таблицей соответствия 2.2, определим совершенную конъюнктивную форму.
Для первой строки таблицы, которая соответствует нулевому набору функции 000, находим конституенту нуля . Выполнив аналогичные операции для второй, третьей и пятой строк, определим искомую совершенную КНФ функции:
Необходимо отметить, что для функций, число единичных наборов которых превышает число нулевых наборов, более компактной является их запись в виде СКНФ и наоборот.
