Решение уравнений с натуральным логарифмом. Учимся решать простейшие логарифмические уравнения
Все знают, зачем нужна математика. Однако многим людям требуется помощь в решении математических задач и уравнений. Прежде чем рассказать, как решать логарифмические уравнения, нужно понять, что они из себя представляют. Уравнения, которые содержат в себе неизвестную в основании логарифма или под его знаком, называются логарифмическими уравнениями. Уравнение, имеющие вид: logaX = b, или те, которые можно свести к такому виду, принято считать простейшими логарифмическими уравнениями.
Правильное решение
Для правильного решения таких уравнений, необходимо помнить о свойствах любой логарифмической функции:
- множество действительных чисел (область значения)
- множество положительных чисел (область определения)
- в случае, когда "а" больше 1, происходит строгое возрастание логарифмической функции, если меньше – убывание
- при заданных параметрах: loga "a" равняется 1, а также loga 1 равняется нулю, нужно учитывать что «а» не будет равна 1, и будет больше 0.
Правильное решение логарифмических уравнений напрямую зависит от понимания самого логарифма. Возьмем пример: 5х=11. Х является числом, в которое необходимо возвести 5, чтобы получилось 11. Это число называется логарифмом 11 по основанию 5 и записывается это в следующем виде: х=log511. Таким образом, нам удалось решить показательное уравнение: 5х=11, получив ответ: х=log511.
Логарифмические уравнения
Уравнение, которое имеет логарифмы, называется логарифмическим уравнениям. В этом уравнении неизвестные переменные, а также выражения с ними, расположены внутри самих логарифмов. И нигде больше! Примеры логарифмических уравнений: log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), lg3(x+3)+20=15lg(x+5) и т.д. Не забывайте, что различные выражения с х-ми могут находиться только внутри заданного лагорифма.
Избавляемся от логарифмов
Методы решения логарифмических уравнений применяются в соответствии с имеющейся задачей, а сам процесс решения в целом, является весьма непростым занятием. Давайте начнем с элементарных уравнений. Простейшие логарифмические уравнения имеют следующий вид:
- logx-21=11
- log5 (70x-1)=2
- log5x=25
Решение логарифмического уравнения предполагает собой переход от уравнения с логарифмами, к уравнению в которых их нет. И в простейших уравнениях это можно сделать за один шаг. Именно по этой причине их и называют простейшими. К примеру, нам нужно решить следующее уравнение: log5x = log52. Для этого нам не нужны особые знания. В данном примере нам нужно избавиться от логарифмов, которые и портят нам всю картину. Убираем логарифмы и получаем: х=2. Таким образом, и в дальнейшем необходимо убирать ненужные логарифмы, если это возможно. Ведь именно такая последовательность и позволяет решать логарифмические неравенства и уравнения. В математике такие действия принято называть потенцированием. Но такое избавление от логарифмов имеет свои правила. Если логарифмы не имеют никаких коэффициентов (т.е. заданы сами по себе), а также при их одинаковом числовом основании – логарифмы можно убирать.
Помните, после того, как мы ликвидировали логарифмы, у нас остается упрощенное уравнение. Давайте решим еще один пример:
log9 (5x-4)-log9x. Потенцируем и у нас получается:
- 5х-4=х
- 5х=х+4
Как видим, удалив логарифмы, мы получили обычное уравнение, решить которое уже не составляет особого труда. Теперь можно перейти к более сложным примерам: log9 (60x-1)=2. Нам нужно обратиться к логарифму (число, в которое возводится основание, в нашем случае 9) для получения подлогарифменного выражения (60х-1). Наш логарифм равняется 2. Следовательно: 92=60х-1. Логарифма больше нет. Решаем полученное уравнение: 60х-1=59, х = 1.
Этот пример мы решили соответственно смыслу логарифма. Следует отметить, что из любого заданного числа можно сделать логарифм, причем необходимого вида. Такой метод является весьма полезным в решении неравенств и логарифмических уравнений. Если же в уравнении нужно найти корень, давайте разберем, как это можно сделать: log5(18 – x) = log55
Если в нашем уравнении у обоих сторон уравнения есть логарифмы, имеющие одинаковую основу, то можно приравнять выражения, которые стоят под знаками наших логарифмов. Убираем общую основу: log5. Получаем простое уравнение: 18 –х = 5, х = 13.
На самом деле, решать логарифмические уравнения не так уж и сложно. Даже учитывая тот факт, что свойства логарифмических уравнений могут существенно отличаться, все равно – нерешаемых заданий не бывает. Необходимо знать свойства самого логарифма, а также уметь их правильно применять. Не нужно спешить: вспоминаем вышеприведенные инструкции и приступаем к решению поставленных задач. Ни в коем случае не нужно пугаться сложного уравнения, Вы обладаете всеми необходимыми знаниями и ресурсами для того, чтобы без труда справиться с любым из них.
На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.
Напомним центральное определение - определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Данное уравнение имеет единственный корень, его называют логарифмом b по основанию а:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Напомним основное логарифмическое тождество .
Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:
Итак мы видим, что каждому значению ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:
Например: 
Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение, как основание логарифма.
Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
График функции при изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.
График функции при изображен красным цветом. Рис. 1.
Свойства данной функции:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.
Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:
Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.
Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:
Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:
Уравнять основания логарифмов;
Приравнять подлогарифмические функции;
Выполнить проверку.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1 - решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:
Пример 2 - решить уравнение:
Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:
Найдем корень и подставим его в неравенство:
Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.
Пример 3 - решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
Найдем корень и подставим его в неравенство:
Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.
Введение
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.
Участвуя в фестивале педагогических идей "Открытый урок" 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме "Логарифмическая функция" (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме "Решение логарифмических уравнений", которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.
При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.
История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.
Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.
Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:
Решение этих уравнений основано на следующей теореме.
Теорема 1. Уравнение равносильно системе
(2)
Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение
и его решения подставить в систему неравенств
задающую область определения уравнения (1).
Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).
При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.
Пример 1:
Решить уравнение 
Решение:
Оба значения х удовлетворяют условиям системы.
Ответ:
Рассмотрим уравнения вида:
Их решение основано на следующей теореме
Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе
(6)
Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые
принадлежат области определения, задаваемой условиями .
Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.
1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).
Пример 2: Решить уравнение
Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:
Решим уравнение:
Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА
.
Пример 3:
Найти х
, если 
Решение:
Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3
3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.
Пример 4: Решить уравнение
Оба значения х являются корнями уравнения.
Ответ:
4. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ.
Пример 5: Решить уравнение
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство "логарифм степени".
Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.
Ответ: х = 0,1; х = 100
5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.
Пример 6: Решить уравнение
Воспользуемся формулой 
и перейдем во всех
слагаемых к логарифму по основанию 2:
Тогда данное уравнение примет вид:
Так как , то это корень уравнения.
Ответ: х = 16
Логарифмические уравнения. От простого - к сложному.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое логарифмическое уравнение?
Это уравнение с логарифмами. Вот удивил, да?) Тогда уточню. Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов. И только там! Это важно.
Вот вам примеры логарифмических уравнений :
log 3 х = log 3 9
log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)
log х+1 (х 2 +3х-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Ну, вы поняли... )
Обратите внимание! Самые разнообразные выражения с иксами располагаются исключительно внутри логарифмов. Если, вдруг, в уравнении обнаружится икс где-нибудь снаружи , например:
log 2 х = 3+х,
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Кстати, попадаются уравнения, где внутри логарифмов только числа . Например:
Что тут сказать? Повезло вам, если попалось такое! Логарифм с числами - это какое-то число. И всё. Достаточно знать свойства логарифмов, чтобы решить такое уравнение. Знания специальных правил, приёмов, приспособленных именно для решения логарифмических уравнений, здесь не требуется.
Итак, что такое логарифмическое уравнение - разобрались.
Как решать логарифмические уравнения?
Решение логарифмических уравнений - штука, вообще-то, не очень простая. Так и раздел у нас - на четвёрку... Требуется приличный запас знаний по всяким смежным темам. Кроме того, существует в этих уравнениях особая фишка. И фишка это настолько важная, что её смело можно назвать главной проблемой в решении логарифмических уравнений. Мы с этой проблемой в следующем уроке детально разберёмся.
А сейчас - не волнуйтесь. Мы пойдём правильным путём, от простого к сложному. На конкретных примерах. Главное, вникайте в простые вещи и не ленитесь ходить по ссылкам, я их не просто так поставил... И всё у вас получится. Обязательно.
Начнём с самых элементарных, простейших уравнений. Для их решения желательно иметь представление о логарифме, но не более того. Просто без понятия логарифма, браться за решение логарифмических уравнений - как-то и неловко даже... Очень смело, я бы сказал).
Простейшие логарифмические уравнения.
Это уравнения вида:
1. log 3 х = log 3 9
2. log 7 (2х-3) = log 7 х
3. log 7 (50х-1) = 2
Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг. Потому и простейшие.)
И решаются такие логарифмические уравнения на удивление просто. Смотрите сами.
Решаем первый пример:
log 3 х = log 3 9
Для решения этого примера почти ничего знать и не надо, да... Чисто интуиция!) Что нам особо не нравится в этом примере? Что-что... Логарифмы не нравятся! Правильно. Вот и избавимся от них. Пристально смотрим на пример, и у нас возникает естественное желание... Прямо-таки непреодолимое! Взять и выкинуть логарифмы вообще. И, что радует, это можно сделать! Математика позволяет. Логарифмы исчезают, получается ответ:
Здорово, правда? Так можно (и нужно) делать всегда. Ликвидация логарифмов подобным образом - один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:
Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:
а) одинаковые числовые основания
в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.
Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,
log 3 х = 2log 3 (3х-1)
убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь... В примере
log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х)
тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.
Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:
log а (.....) = log а (.....)
В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение. Предполагается, конечно, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.)
Теперь легко можно решить второй пример:
log 7 (2х-3) = log 7 х
Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:
Ну что, очень сложно?) Как видите, логарифмическая часть решения уравнения заключается только в ликвидации логарифмов... А дальше идёт решение оставшегося уравнения уже без них. Пустяшное дело.
Решаем третий пример:
log 7 (50х-1) = 2
Видим, что слева стоит логарифм:
Вспоминаем, что этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифменное выражение, т.е. (50х-1).
Но это число равно двум! По уравнению. Стало быть:
Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:
Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла логарифма. Что, ликвидировать логарифмы всё-таки проще?) Согласен. Между прочим, если из двойки логарифм сделать, можно этот пример и через ликвидацию решить. Из любого числа можно логарифм сделать. Причём, такой, какой нам надо. Очень полезный приём в решении логарифмических уравнений и (особо!) неравенств.
Не умеете из числа логарифм делать!? Ничего страшного. В разделе 555 этот приём подробно описан. Можете освоить и применять его на полную катушку! Он здорово уменьшает количество ошибок.
Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:
Вот и все дела.
Подведём итоги этого урока. Мы рассмотрели на примерах решение простейших логарифмических уравнений. Это очень важно. И не только потому, что такие уравнения бывают на контрольных-экзаменах. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим!
Собственно, простейшие уравнения - это финишная часть решения любых уравнений. И эту финишную часть надо понимать железно! И ещё. Обязательно дочитайте эту страничку до конца. Есть там сюрприз...)
Решаем теперь самостоятельно. Набиваем руку, так сказать...)
Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнений:
ln(7х+2) = ln(5х+20)
log 2 (х 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5х-1,5) = 0,25
log 0,2 (3х-1) = -3
ln(е 2 +2х-3) = 2
log 2 (14х) = log 2 7 + 2
Ответы (в беспорядке, разумеется): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
Что, не всё получается? Бывает. Не горюйте! В разделе 555 решение всех этих примеров расписано понятно и подробно. Там уж точно разберётесь. Да ещё и полезные практические приёмы освоите.
Всё получилось!? Все примеры "одной левой"?) Поздравляю!
Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение этих примеров вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных логарифмических уравнений. Даже простейших, подобных этим. Увы.
Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения (даже самого элементарного!) состоит из двух равноценных частей. Решение уравнения, и работа с ОДЗ. Одну часть - решение самого уравнения - мы освоили. Не так уж и трудно, верно?
Для этого урока я специально подобрал такие примеры, в которых ОДЗ никак на ответе не сказывается. Но не все такие добрые, как я, правда?...)
Посему надо обязательно освоить и другую часть. ОДЗ. Это и есть главная проблема в решении логарифмических уравнений. И не потому, что трудная - эта часть ещё проще первой. А потому, что про ОДЗ просто забывают. Или не знают. Или и то, и другое). И падают на ровном месте...
В следующем уроке мы расправимся с этой проблемой. Вот тогда можно будет уверенно решать любые несложные логарифмические уравнения и подбираться к вполне солидным заданиям.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
На уравнениях такого вида многие ученики «зависают». При этом сами задачи отнюдь не являются сложными — достаточно просто выполнить грамотную замену переменной, для чего следует научиться выделять устойчивые выражения.
В дополнение к этому уроку вас ждет довольно объемная самостоятельная работа, состоящая из двух вариантов по 6 задач в каждом.
Метод группировки
Сегодня мы разберем два логарифмических уравнения, одно из которых не решается «напролом» и требует специальных преобразований, а второе... впрочем, не буду рассказывать все сразу. Смотрите видео, скачивайте самостоятельную работу — и учитесь решать сложные задачи.
Итак, группировка и вынесение общих множителей за скобку. Дополнительно я расскажу вам, какие подводные камни несет область определения логарифмов, и как небольшие замечания по области определений могут существенно менять как корни, так и все решение.
Начнем из группировки. Нам нужно решить следующее логарифмическое уравнение:
log 2 x · log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )
В первую очередь отметим, что x 2 − 3x можно разложить на множители:
log 2 x (x − 3)
Затем вспоминаем замечательную формулу:
log a fg = log a f + log a g
Сразу же небольшое замечание: данная формула прекрасно работает, когда а, f и g — обычные числа. Но когда вместо них стоят функции, данные выражения перестают быть равноправными. Представьте себе такую гипотетическую ситуацию:
f < 0; g < 0
В этом случае произведение fg будет положительным, следовательно, log a (fg ) будет существовать, а вот log a f и log a g отдельно существовать не будут, и выполнить такое преобразование мы не сможем.
Игнорирование данного факта приведет к сужению области определения и, как следствие, к потере корней. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, нужно обязательно заранее убедиться, что функции f и g положительные.
В нашем случае все просто. Поскольку в исходном уравнении есть функция log 2 x , то x > 0 (ведь переменная x стоит в аргументе). Также имеется log 2 (x − 3), поэтому x − 3 > 0.
Следовательно, в функции log 2 x (x − 3) каждый множитель будет больше нуля. Поэтому можно смело раскладывать произведение на сумму:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0
На первый взгляд может показаться, что легче не стало. Напротив: количество слагаемых лишь увеличились! Чтобы понять, как действовать дальше, введем новые переменные:
log 2 x = а
log 2 (x − 3) = b
a · b + 1 − a − b = 0
А теперь сгруппируем третье слагаемое с первым:
(a · b − a ) + (1 − b ) = 0
a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0
Заметим, что и в первой, и во второй скобке стоит b − 1 (во втором случае придется вынести «минус» за скобку). Разложим нашу конструкцию на множители:
a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1)(а · 1 − 1) = 0
А теперь вспоминаем наше замечательно правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
Вспоминаем, что такое b и а. Получим два простейших логарифмических уравнения, в которых останется лишь избавиться от знаков logи приравнять аргументы:
log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;
log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5
Мы получили два корня, но это не решение исходного логарифмического уравнения, а лишь кандидаты в ответ. Теперь проверим область определения. Для первого аргумента:
x > 0
Оба корня удовлетворяют первому требованию. Переходим ко второму аргументу:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
А вот здесь уже x = 2 нас не удовлетворяет, зато x = 5 вполне нас устраивает. Следовательно, единственным ответом будет x = 5.
Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.
log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x )
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы:
x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x
x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0
x 2 − 4x − 5 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
Но эти корни еще не являются окончательными ответами. Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, т.е. учет области определения строго обязателен.
Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля:
x 2 − 6x + 2 > 0
С другой — второй аргумент тоже должен быть больше нуля:
7 − 2x > 0
Эти требования должны выполняться одновременно. И вот тут начинается самое интересное. Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь?
Давайте заметим одну тонкость. Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Отсюда следует, что требования x 2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 равносильны. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство:
−2x > −7
x < 3,5
Поскольку мы делили обе части на отрицательное число, знак неравенства поменялся.
Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений. Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Очевидно, что нас устроит лишь x = −1, потому что x = 5 > 3,5.
Можно записать ответ: x = 1 является единственным решением исходного логарифмического уравнения.
Выводы из данного логарифмического уравнения следующие:
- Не бойтесь раскладывать логарифмы на множители, а потом множители раскладывать на сумму логарифмов. Однако помните, что разбивая произведение на сумму двух логарифмов, вы тем самым сужаете область определения. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, обязательно проверьте, каковы требования области определения. Чаще всего никаких проблем не возникает, однако лишний раз перестраховаться не помешает.
- Избавляясь от канонической формы, старайтесь оптимизировать вычисления. В частности, если от нас требуется, чтобы f > 0 и g > 0, но в самом уравнении f = g , то смело вычеркиваем одно из неравенств, оставляя себе лишь самое простое. Область определения и ответы при этом никак не пострадают, а вот объем вычислений существенно сократится.
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать о группировке.:)
Типичные ошибки при решении
Сегодня мы разберем два типичных логарифмических уравнения, на которых спотыкаются многие ученики. На примере этих уравнения мы увидим, какие ошибки чаще всего допускаются в процессе решения и преобразования исходных выражений.
Дробно-рациональные уравнения с логарифмами
Сразу следует отметить, что это довольно коварный тип уравнений, в которых отнюдь не всегда сразу присутствует дробь с логарифмом где-то в знаменателе. Однако в процессе преобразований такая дробь обязательно возникнет.
При этом будьте внимательны: в процессе преобразований изначальная область определения логарифмов может существенно измениться!
Переходим к еще более жестким логарифмическим уравнениям, содержащим дроби и переменные основания. Чтобы за один короткий урок успеть больше, я не буду рассказывать элементарную теорию. Сразу перейдем к задачам:
4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1
Посмотрев на это уравнение, кто-то спросит: «При чем здесь дробно-рациональное уравнение? Где в этом уравнении дробь?» Давайте не будем спешить и внимательно посмотрим на каждое слагаемое.
Первое слагаемое: 4 log 25 (x − 1). Основанием логарифма является число, но в аргументе стоит функция от переменной x . С этим мы пока ничего сделать не можем. Идем дальше.
Следующее слагаемое: log 3 27. Вспоминаем, что 27 = 3 3 . Следовательно, весь логарифм мы можем переписать следующим образом:
log 3 27 = 3 3 = 3
Итак, второе слагаемое — это просто тройка. Третье слагаемое: 2 log x − 1 5. Тут тоже не все просто: в основании стоит функция, в аргументе — обычное число. Предлагаю перевернуть весь логарифм по следующей формуле:
log a b = 1/log b a
Такое преобразование можно выполнить только если b ≠ 1. Иначе логарифм, который получится в знаменателе второй дроби, просто не будет существовать. В нашем случае b = 5, поэтому все в порядке:
2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)
Перепишем исходное уравнение с учетом полученных преобразований:
4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1
В знаменателе дроби у нас стоит log 5 (x − 1), а в первом слагаемом мы имеем log 25 (x − 1). Но 25 = 5 2 , поэтому выносим квадрат из основания логарифма по правилу:
Другими словами, степень в основании логарифма становится дробью спереди. А выражение перепишется так:
4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0
У нас получилось длинное уравнение с кучей одинаковых логарифмов. Введем новую переменную:
log 5 (x − 1) = t;
2t − 4 + 2/t = 0;
А вот это уже дробно-рациональное уравнение, которое решается средствами алгебры 8—9 класса. Для начала разделим все на двойку:
t − 2 + 1/t = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0
В скобках стоит точный квадрат. Свернем его:
(t − 1) 2 /t = 0
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Никогда не забывайте про этот факт:
(t − 1) 2 = 0
t = 1
t ≠ 0
Вспоминаем, что такое t :
log 5 (x − 1) = 1
log 5 (x − 1) = log 5 5
Избавляемся от знаков log, приравниваем их аргументы, и получаем:
x − 1 = 5 ⇒ x = 6
Все. Задача решена. Но давайте вернемся к исходному уравнению и вспомним, что там присутствовали сразу два логарифма с переменной x . Поэтому нужно выписать область определения. Поскольку x − 1 стоит в аргументе логарифма, это выражение должно быть больше нуля:
x − 1 > 0
С другой стороны, тот же x − 1 присутствует и в основании, поэтому должен отличаться от единицы:
x − 1 ≠ 1
Отсюда заключаем:
x > 1; x ≠ 2
Эти требования должны выполняться одновременно. Значение x = 6 удовлетворяет обоим требованиям, поэтому является x = 6 окончательным решением логарифмического уравнения.
Переходим ко второй задаче:
Вновь не будем спешить и посмотрим на каждое слагаемое:
log 4 (x + 1) — в основании стоит четверка. Обычное число, и его можно не трогать. Но в прошлый раз мы наткнулись на точный квадрат в основании, который пришлось выносить из-под знака логарифма. Давайте сейчас сделаем то же самое:
log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)
Фишка в том, что у нас уже есть логарифм с переменной x , хоть и в основании — он является обратным к логарифму, который мы только что нашли:
8 log x + 1 2 = 8 · (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)
Следующее слагаемое — log 2 8. Это константа, поскольку и аргументе, и в основании стоят обычные числа. Найдем значение:
log 2 8 = log 2 2 3 = 3
То же самое мы можем сделать и с последним логарифмом:
Теперь перепишем исходное уравнение:
1/2 · log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0
Приведем все к общему знаменателю:
Перед нами опять дробно-рациональное уравнение. Введем новую переменную:
t = log 2 (x + 1)
Перепишем уравнение с учетом новой переменной:
Будьте внимательны: на этом шаге я поменял слагаемые местами. В числителе дроби стоит квадрат разности:
Как и в прошлый раз, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Получили один корень, который удовлетворяет всем требованиям, поэтому возвращаемся к переменной x :
log 2 (x + 1) = 4;
log 2 (x + 1) = log 2 2 4;
x + 1 = 16;
x = 15
Все, мы решили уравнение. Но поскольку в исходном уравнении присутствовало несколько логарифмов, необходимо выписать область определения.
Так, выражение x + 1 стоит в аргументе логарифма. Поэтому x + 1 > 0. С другой стороны, x + 1 присутствует и в основании, т.е. x + 1 ≠ 1. Итого:
0 ≠ x > −1
Удовлетворяет ли найденный корень данным требованиям? Безусловно. Следовательно, x = 15 является решением исходного логарифмического уравнения.
Напоследок хотел бы сказать следующее: если вы смотрите на уравнение и понимаете, что вам предстоит решать что-то сложное и нестандартное, по старайтесь выделить устойчивые конструкции, которые впоследствии будут обозначены другой переменной. Если же какие-то слагаемые вообще не содержат переменную x , их зачастую можно просто вычислить.
Вот и все, о чем я хотел сегодня рассказать. Надеюсь, этот урок поможет вам в решении сложных логарифмических уравнений. Смотрите другие видеоуроки, скачивайте и решайте самостоятельные работы, и до встречи в следующем видео!
