Дано скорость и импульс как найти массу. Что такое импульс

Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р . Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:

Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.

Общий импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:

Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):

где: p н – импульс тела в начальный момент времени, p к – в конечный. Главное не путать два последних понятия.

Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.

Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.

Закон сохранения импульса

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой .

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса (ЗСИ) . Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:

Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:

Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:

Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.

Сохранение проекции импульса

Возможны ситуации, когда закон сохранения импульса выполняется только частично, то есть только при проектировании на одну ось. Если на тело действует сила, то его импульс не сохраняется. Но всегда можно выбрать ось так, чтобы проекция силы на эту ось равнялась нулю. Тогда проекция импульса на эту ось будет сохраняться. Как правило, эта ось выбирается вдоль поверхности по которой движется тело.

Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод

В случаях если тела движутся не вдоль одной прямой, то в общем случае, для того чтобы применить закон сохранения импульса, нужно расписать его по всем координатным осям, участвующим в задаче. Но решение подобной задачи можно сильно упростить, если использовать векторный метод. Он применяется если одно из тел покоится до или после удара. Тогда закон сохранения импульса записывается одним из следующих способов:

Из правил сложения векторов следует, что три вектора в этих формулах должны образовывать треугольник. Для треугольников применяется теорема косинусов.

Проделаем несколько несложных преобразований с формулами. По второму закону Ньютона силу можно найти: F=m*a. Ускорение находится следующим образом: a=v⁄t . Таким образом получаем: F=m*v /t.

Определение импульса тела: формула

Выходит, что сила характеризуется изменением произведения массы на скорость во времени. Если обозначить это произведение некой величиной, то мы получим изменение этой величины во времени как характеристику силы. Эту величину назвали импульсом тела. Импульс тела выражается формулой:

где p импульс тела, m масса, v скорость.

Импульс это векторная величина, при этом его направление всегда совпадает с направлением скорости. Единицей импульса является килограмм на метр в секунду (1 кг*м/с).

Что же такое импульс тела: как понять?

Попробуем по-простому, «на пальцах» разобраться, что такое импульс тела. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.

Если воздействие на тело отсутствует, но оно движется с некоторой скоростью, то есть имеет некий импульс, то его импульс означает, какое воздействие способно оказать данное тело при взаимодействии с другим телом.

В формулу импульса входит масса тела и его скорость. То есть чем большей массой и/или скоростью обладает тело, тем большее воздействие оно может оказать. Это понятно и из жизненного опыта.

Чтобы сдвинуть тело небольшой массы, нужна небольшая сила. Чем больше масса тела, тем большее придется приложить усилие. То же самое касается и скорости, которую сообщают телу. В случае же воздействия самого тела на другое, импульс также показывает величину, с которой тело способно действовать на другие тела. Эта величина напрямую зависит от скорости и массы исходного тела.

Импульс при взаимодействии тел

Возникает еще один вопрос: что произойдет с импульсом тела при его взаимодействии с другим телом? Масса тела измениться не может, если оно остается целым, а вот скорость может измениться запросто. При этом скорость тела изменится в зависимости от его массы.

В самом деле, понятно, что при столкновении тел с очень разными массами, скорость их изменится по-разному. Если летящий на большой скорости футбольный мяч врежется в неготового к этому человека, например зрителя, то зритель может упасть, то есть приобретет некоторую небольшую скорость, но точно не полетит как мячик.

А все потому, что масса зрителя намного больше массы мяча. Но при этом сохранится неизменным общий импульс этих двух тел.

Закон сохранения импульса: формула

В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.

В реальности практически всегда на систему тел оказывается стороннее воздействие, но общий импульс, как и энергия, не пропадает в никуда и не возникает из ниоткуда, он распределяется между всеми участниками взаимодействия.

Импульс силы. Импульс тела

Основные динамические величины: сила, масса, импульс тела, момент силы, момент импульса.

Сила – это век­тор­ная ве­ли­чи­на, яв­ля­ю­ща­я­ся мерой дей­ствия на дан­ное тело дру­гих тел или полей.

Сила ха­рак­те­ри­зу­ет­ся:

· Мо­ду­лем

· На­прав­ле­ни­ем

· Точ­кой при­ло­же­ния

В си­сте­ме СИ сила из­ме­ря­ет­ся в нью­то­нах.

Для того чтобы по­нять, что такое сила в один нью­тон, нам нужно вспом­нить, что сила, при­ло­жен­ная к телу, из­ме­ня­ет его ско­рость. Кроме того, вспом­ним о инерт­но­сти тел, ко­то­рая, как мы пом­ним, свя­за­на с их мас­сой. Итак,

Один нью­тон – это такая сила, ко­то­рая ме­ня­ет ско­рость тела мас­сой в 1 кг на 1 м/с за каж­дую се­кун­ду.

При­ме­ра­ми сил могут слу­жить:

· Сила тя­же­сти – сила, дей­ству­ю­щая на тело в ре­зуль­та­те гра­ви­та­ци­он­но­го вза­и­мо­дей­ствия.

· Сила упру­го­сти – сила, с ко­то­рой тело со­про­тив­ля­ет­ся внеш­ней на­груз­ке. Ее при­чи­ной яв­ля­ет­ся элек­тро­маг­нит­ное вза­и­мо­дей­ствие мо­ле­кул тела.

· Сила Ар­хи­ме­да – сила, свя­зан­ная с тем, что тело вы­тес­ня­ет некий объем жид­ко­сти или газа.

· Сила ре­ак­ции опоры – сила, с ко­то­рой опора дей­ству­ет на тело, на­хо­дя­ще­е­ся на ней.

· Сила тре­ния – сила со­про­тив­ле­ния от­но­си­тель­но­му пе­ре­ме­ще­нию кон­так­ти­ру­ю­щих по­верх­но­стей тел.

· Сила по­верх­ност­но­го на­тя­же­ния – сила, воз­ни­ка­ю­щая на гра­ни­це раз­де­ла двух сред.

· Вес тела – сила, с ко­то­рой тело дей­ству­ет на го­ри­зон­таль­ную опору или вер­ти­каль­ный под­вес.

И дру­гие силы.

Сила из­ме­ря­ет­ся с по­мо­щью спе­ци­аль­но­го при­бо­ра. Этот при­бор на­зы­ва­ет­ся ди­на­мо­мет­ром (рис. 1). Ди­на­мо­метр со­сто­ит из пру­жи­ны 1, рас­тя­же­ние ко­то­рой и по­ка­зы­ва­ет нам силу, стрел­ки 2, сколь­зя­щей по шкале 3, план­ки-огра­ни­чи­те­ля 4, ко­то­рая не дает рас­тя­нуть­ся пру­жине слиш­ком силь­но, и крюч­ка 5, к ко­то­ро­му под­ве­ши­ва­ет­ся груз.

Рис. 1. Ди­на­мо­метр (Ис­точ­ник)

На тело могут дей­ство­вать мно­гие силы. Для того чтобы пра­виль­но опи­сать дви­же­ние тела, удоб­но поль­зо­вать­ся по­ня­ти­ем рав­но­дей­ству­ю­щей сил.

Рав­но­дей­ству­ю­щая сил – это сила, дей­ствие ко­то­рой за­ме­ня­ет дей­ствие всех сил, при­ло­жен­ных к телу (Рис. 2).

Зная пра­ви­ла ра­бо­ты с век­тор­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, легко до­га­дать­ся, что рав­но­дей­ству­ю­щая всех сил, при­ло­жен­ных к телу – это век­тор­ная сумма этих сил.

Рис. 2. Рав­но­дей­ству­ю­щая двух сил, дей­ству­ю­щих на тело

Кроме того, по­сколь­ку мы с вами рас­смат­ри­ва­ем дви­же­ние тела в ка­кой-ли­бо си­сте­ме ко­ор­ди­нат, нам обыч­но вы­год­но рас­смат­ри­вать не саму силу, а ее про­ек­цию на ось. Про­ек­ция силы на ось может быть от­ри­ца­тель­ной или по­ло­жи­тель­ной, по­то­му что про­ек­ция – это ве­ли­чи­на ска­ляр­ная. Так, на ри­сун­ке 3 изоб­ра­же­ны про­ек­ции сил, про­ек­ция силы – от­ри­ца­тель­на, а про­ек­ция силы – по­ло­жи­тель­на.

Рис. 3. Про­ек­ции сил на ось

Итак, из этого урока мы с вами углу­би­ли свое по­ни­ма­ние по­ня­тия силы. Мы вспом­ни­ли еди­ни­цы из­ме­ре­ния силы и при­бор, с по­мо­щью ко­то­ро­го из­ме­ря­ет­ся сила. Кроме того, мы рас­смот­ре­ли, какие силы су­ще­ству­ют в при­ро­де. На­ко­нец, мы узна­ли, как можно дей­ство­вать в слу­чае, если на тело дей­ству­ет несколь­ко сил.

Масса , физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. Соответственно различают Массу инертную и Массу гравитационную (тяжелую, тяготеющую).

Понятие Масса было введено в механику И. Ньютоном. В классической механике Ньютона Масса входит в определение импульса (количества движения) тела: импульс р пропорционален скорости движения тела v , p = mv (1). Коэффициент пропорциональности - постоянная для данного тела величина m - и есть Масса тела. Эквивалентное определение Массы получается из уравнения движения классической механики f = ma (2). Здесь Масса - коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой f и вызываемым ею ускорением тела a . Определенная соотношениями (1) и (2) Масса называется инерциальной массой, или инертной массой; она характеризует динамические свойства тела, является мерой инерции тела: при постоянной силе чем больше Масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает, т. е. тем медленнее меняется состояние его движения (тем больше его инерция).

Действуя на различные тела одной и той же силой и измеряя их ускорения, можно определить отношения Масса этих тел: m 1: m 2: m 3 ... = а 1: а 2: а 3 ... ; если одну из Масс принять за единицу измерения, можно найти Массу остальных тел.

В теории гравитации Ньютона Масса выступает в другой форме - как источник поля тяготения. Каждое тело создает поле тяготения, пропорциональное Массе тела (и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна Массе тел). Это поле вызывает притяжение любого другого тела к данному телу с силой, определяемой законом тяготения Ньютона:

(3)

где r - расстояние между телами, G - универсальная гравитационная постоянная, a m 1 и m 2 - Массы притягивающихся тел. Из формулы (3) легко получить формулу для веса Р тела массы m в поле тяготения Земли: Р = mg (4).

Здесь g = G*M/r 2 - ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли, а r » R - радиусу Земли. Масса, определяемая соотношениями (3) и (4), называется гравитационной массой тела.

В принципе ниоткуда не следует, что Масса, создающая поле тяготения, определяет и инерцию того же тела. Однако опыт показал, что инертная Масса и гравитационная Масса пропорциональны друг другу (а при обычном выборе единиц измерения численно равны). Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности. Его открытие связано с именем Г.Галилея, установившего, что все тела на Земле падают с одинаковым ускорением. А.Эйнштейн положил этот принцип (им впервые сформулированный) в основу общей теории относительности. Экспериментально принцип эквивалентности установлен с очень большой точностью. Впервые (1890-1906) прецизионная проверка равенства инертной и гравитационной Масс была произведена Л.Этвешем, который нашел, что Массы совпадают с ошибкой ~ 10 -8 . В 1959-64 годах американские физики Р.Дикке, Р.Кротков и П.Ролл уменьшили ошибку до 10 -11 , а в 1971 году советские физики В.Б.Брагинский и В.И.Панов - до 10 -12 .

Принцип эквивалентности позволяет наиболее естественно определять Массу тела взвешиванием.

Первоначально Масса рассматривалась (например, Ньютоном) как мера количества вещества. Такое определение имеет ясный смысл только для сравнения однородных тел, построенных из одного материала. Оно подчеркивает аддитивность Массы - Масса тела равна сумме Массы его частей. Масса однородного тела пропорциональна его объему, поэтому можно ввести понятие плотности - Массы единицы объема тела.

В классической физике считалось, что Масса тела не изменяется ни в каких процессах. Этому соответствовал закон сохранения Массы (вещества), открытый М.В.Ломоносовым и А.Л.Лавуазье. В частности, этот закон утверждал, что в любой химической реакции сумма Масс исходных компонентов равна сумме Масс конечных компонентов.

Понятие Масса приобрело более глубокий смысл в механике специальной теории относительности А. Эйнштейна, рассматривающей движение тел (или частиц) с очень большими скоростями - сравнимыми со скоростью света с ~ 3 10 10 см/сек. В новой механике - она называется релятивистской механикой - связь между импульсом и скоростью частицы дается соотношением:

(5)

При малых скоростях (v << c ) это соотношение переходит в Ньютоново соотношение р = mv . Поэтому величину m 0 называют массой покоя, а Массу движущейся частицы m определяют как зависящий от скорости коэффициент пропорциональности между p и v :

(6)

Имея в виду, в частности, эту формулу, говорят, что Масса частицы (тела) растет с увеличением ее скорости. Такое релятивистское возрастание Массы частицы по мере повышения ее скорости необходимо учитывать при конструировании ускорителей заряженных частиц высоких энергий. Масса покоя m 0 (Масса в системе отсчета, связанной с частицей) является важнейшей внутренней характеристикой частицы. Все элементарные частицы обладают строго определенными значениями m 0 , присущими данному сорту частиц.

Следует отметить, что в релятивистской механике определение Массы из уравнения движения (2) не эквивалентно определению Массы как коэффициента пропорциональности между импульсом и скоростью частицы, так как ускорение перестает быть параллельным вызвавшей его силе и Масса получается зависящей от направления скорости частицы.

Согласно теории относительности, Масса частицы m связана с ее энергией Е соотношением:

(7)

Масса покоя определяет внутреннюю энергию частицы - так называемую энергию покоя Е 0 = m 0 с 2 . Таким образом, с Массой всегда связана энергия (и наоборот). Поэтому не существует по отдельности (как в классической физике) закона сохранения Массы и закона сохранения энергии - они слиты в единый закон сохранения полной (т. е. включающей энергию покоя частиц) энергии. Приближенное разделение на закон сохранения энергии и закон сохранения Массы возможно лишь в классической физике, когда скорости частиц малы (v << c ) и не происходят процессы превращения частиц.

В релятивистской механике Масса не является аддитивной характеристикой тела. Когда две частицы соединяются, образуя одно составное устойчивое состояние, то при этом выделяется избыток энергии (равный энергии связи) DЕ , который соответствует Массе Dm = DE/с 2 . Поэтому Масса составной частицы меньше суммы Масс образующих его частиц на величину DE/с 2 (так называемый дефект масс). Этот эффект проявляется особенно сильно в ядерных реакциях. Например, Масса дейтрона (d ) меньше суммы Масс протона (p ) и нейтрона (n ); дефект Масс Dm связан с энергией Е g гамма-кванта (g ), рождающегося при образовании дейтрона: р + n -> d + g , E g = Dmc 2 . Дефект Массы, возникающий при образовании составной частицы, отражает органическую связь Массы и энергии.

Единицей Массы в СГС системе единиц служит грамм , а вМеждународной системе единиц СИ - килограмм . Масса атомов и молекул обычно измеряется в атомных единицах массы. Масса элементарных частиц принято выражать либо в единицах Массы электрона m e , либо в энергетических единицах, указывая энергию покоя соответствующей частицы. Так, Масса электрона составляет 0,511 Мэв, Масса протона - 1836,1 m e , или 938,2 Мэв и т. д.

Природа Массы - одна из важнейших нерешенных задач современной физики. Принято считать, что Масса элементарной частицы определяется полями, которые с ней связаны (электромагнитным, ядерным и другими). Однако количественная теория Массы еще не создана. Не существует также теории, объясняющей, почему Масса элементарных частиц образуют дискретный спектр значений, и тем более позволяющей определить этот спектр.

В астрофизике Масса тела, создающего гравитационное поле, определяет так называемый гравитационный радиус тела R гр = 2GM/c 2 . Вследствие гравитационного притяжения никакое излучение, в том числе световое, не может выйти наружу, за поверхность тела с радиусом R =< R гр . Звезды таких размеров будут невидимы; поэтому их назвали "черными дырами". Такие небесные тела должны играть важную роль во Вселенной.

Импульс силы. Импульс тела

По­ня­тие им­пуль­са было вве­де­но еще в пер­вой по­ло­вине XVII века Рене Де­кар­том, а затем уточ­не­но Иса­а­ком Нью­то­ном. Со­глас­но Нью­то­ну, ко­то­рый на­зы­вал им­пульс ко­ли­че­ством дви­же­ния, – это есть мера та­ко­во­го, про­пор­ци­о­наль­ная ско­ро­сти тела и его массе. Со­вре­мен­ное опре­де­ле­ние: им­пульс тела – это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, рав­ная про­из­ве­де­нию массы тела на его ско­рость:

Пре­жде всего, из при­ве­ден­ной фор­му­лы видно, что им­пульс – ве­ли­чи­на век­тор­ная и его на­прав­ле­ние сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем ско­ро­сти тела, еди­ни­цей из­ме­ре­ния им­пуль­са слу­жит:

= [ кг· м/с]

Рас­смот­рим, каким же об­ра­зом эта фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на свя­за­на с за­ко­на­ми дви­же­ния. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на, учи­ты­вая, что уско­ре­ние есть из­ме­не­ние ско­ро­сти с те­че­ни­ем вре­ме­ни:

На­ли­цо связь между дей­ству­ю­щей на тело силой, точ­нее, рав­но­дей­ству­ю­щей сил и из­ме­не­ни­ем его им­пуль­са. Ве­ли­чи­на про­из­ве­де­ния силы на про­ме­жу­ток вре­ме­ни носит на­зва­ние им­пуль­са силы. Из при­ве­ден­ной фор­му­лы видно, что из­ме­не­ние им­пуль­са тела равно им­пуль­су силы.

Какие эф­фек­ты можно опи­сать с по­мо­щью дан­но­го урав­не­ния (рис. 1)?

Рис. 1. Связь им­пуль­са силы с им­пуль­сом тела (Ис­точ­ник)

Стре­ла, вы­пус­ка­е­мая из лука. Чем доль­ше про­дол­жа­ет­ся кон­такт те­ти­вы со стре­лой (∆t), тем боль­ше из­ме­не­ние им­пуль­са стре­лы (∆ ), а сле­до­ва­тель­но, тем выше ее ко­неч­ная ско­рость.

Два стал­ки­ва­ю­щих­ся ша­ри­ка. Пока ша­ри­ки на­хо­дят­ся в кон­так­те, они дей­ству­ют друг на друга с рав­ны­ми по мо­ду­лю си­ла­ми, как учит нас тре­тий закон Нью­то­на. Зна­чит, из­ме­не­ния их им­пуль­сов также долж­ны быть равны по мо­ду­лю, даже если массы ша­ри­ков не равны.

Про­ана­ли­зи­ро­вав фор­му­лы, можно сде­лать два важ­ных вы­во­да:

1. Оди­на­ко­вые силы, дей­ству­ю­щие в те­че­ние оди­на­ко­во­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни, вы­зы­ва­ют оди­на­ко­вые из­ме­не­ния им­пуль­са у раз­лич­ных тел, неза­ви­си­мо от массы по­след­них.

2. Од­но­го и того же из­ме­не­ния им­пуль­са тела можно до­бить­ся, либо дей­ствуя неболь­шой силой в те­че­ние дли­тель­но­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни, либо дей­ствуя крат­ко­вре­мен­но боль­шой силой на то же самое тело.

Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, можем за­пи­сать:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

От­но­ше­ние из­ме­не­ния им­пуль­са тела к про­ме­жут­ку вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го это из­ме­не­ние про­изо­шло, равно сумме сил, дей­ству­ю­щих на тело.

Про­ана­ли­зи­ро­вав это урав­не­ние, мы видим, что вто­рой закон Нью­то­на поз­во­ля­ет рас­ши­рить класс ре­ша­е­мых задач и вклю­чить за­да­чи, в ко­то­рых масса тел из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни.

Если же по­пы­тать­ся ре­шить за­да­чи с пе­ре­мен­ной мас­сой тел при по­мо­щи обыч­ной фор­му­ли­ров­ки вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на:

то по­пыт­ка та­ко­го ре­ше­ния при­ве­ла бы к ошиб­ке.

При­ме­ром тому могут слу­жить уже упо­ми­на­е­мые ре­ак­тив­ный са­мо­лет или кос­ми­че­ская ра­ке­та, ко­то­рые при дви­же­нии сжи­га­ют топ­ли­во, и про­дук­ты этого сжи­га­е­мо­го вы­бра­сы­ва­ют в окру­жа­ю­щее про­стран­ство. Есте­ствен­но, масса са­мо­ле­та или ра­ке­ты умень­ша­ет­ся по мере рас­хо­да топ­ли­ва.

МОМЕНТ СИЛЫ - величина, характеризующая вращательный эффект силы; имеет размерность произведения длины на силу. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.

M. с. относительно центра О наз. векторная величина M 0 , равная векторному произведению радиуса-вектора r , проведённого из O в точку приложения силы F , на силуM 0 = [rF ] или в др. обозначениях M 0 = r F (рис.). Численно M. с. равен произведению модуля силы на плечо h , т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы, или удвоенной площади

треугольника, построенного на центре O и силе:

Направлен вектор M 0 перпендикулярно плоскости, проходящей через O и F . Сторона, куда направляется M 0 , выбирается условно (M 0 - аксиальный вектор). При правой системе координат вектор M 0 направляют в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки.

M. с. относительно оси z наз. скалярная величина M z , равная проекции на ось z вектора M. с. относительно любого центра О , взятого на этой оси; величину M z можно ещё определять как проекцию на плоскость ху , перпендикулярную оси z, площади треугольника OAB или как момент проекции F xy силы F на плоскость ху , взятый относительно точки пересечения оси z с этой плоскостью. T. о.,

В двух последних выражениях M. с. считается положительным, когда поворот силы F xy виден с положит. конца оси z против хода часовой стрелки (в правой системе координат). M. с. относительно координатных осей Oxyz могут также вычисляться по аналитич. ф-лам:

где F x , F y , F z - проекции силы F на координатные оси, х, у, z - координаты точки А приложения силы. Величины M x , M y , M z равны проекциям вектора M 0 на координатные оси.

Второй закон Ньютона \(~m \vec a = \vec F\) можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии».

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то постоянным является и ускорение

\(~\vec a = \frac{\vec \upsilon_2 - \vec \upsilon_1}{\Delta t}\) ,

где \(~\vec \upsilon_1\) и \(~\vec \upsilon_2\) - начальное и конечное значения скорости тела.

Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим:

\(~\frac{m \cdot (\vec \upsilon_2 - \vec \upsilon_1)}{\Delta t} = \vec F\) или \(~m \vec \upsilon_2 - m \vec \upsilon_1 = \vec F \Delta t\) . (1)

В этом уравнении появляется новая физическая величина - импульс материальной точки.

Импульсом материальной точки называют величину равную произведению массы точки на ее скорость.

Обозначим импульс (его также называют иногда количеством движения) буквой \(~\vec p\) . Тогда

\(~\vec p = m \vec \upsilon\) . (2)

Из формулы (2) видно, что импульс - векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет то же направление, что и скорость.

Единица импульса не имеет особого названия. Ее наименование получается из определения этой величины:

[p ] = [m ] · [υ ] = 1 кг · 1 м/с = 1 кг·м/с.

Другая форма записи второго закона Ньютона

Обозначим через \(~\vec p_1 = m \vec \upsilon_1\) импульс материальной точки в начальный момент интервала Δt , а через \(~\vec p_2 = m \vec \upsilon_2\) - импульс в конечный момент этого интервала. Тогда \(~\vec p_2 - \vec p_1 = \Delta \vec p\) есть изменение импульса за время Δt . Теперь уравнение (1) можно записать так:

\(~\Delta \vec p = \vec F \Delta t\) . (3)

Так как Δt > 0, то направления векторов \(~\Delta \vec p\) и \(~\vec F\) совпадают.

Согласно формуле (3)

изменение импульса материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет такое же направление, как и сила.

Именно так был впервые сформулирован второй закон Ньютона .

Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы . Не надо путать импульс \(~m \vec \upsilon\) материальной точки и импульс силы \(\vec F \Delta t\) . Это совершенно разные понятия.

Уравнение (3) показывает, что одинаковые изменения импульса материальной точки могут быть получены в результате действия большой силы в течение малого интервала времени или малой силы за большой интервал времени. Когда вы прыгаете с какой-то высоты, то остановка вашего тела происходит за счет действия силы со стороны земли или пола. Чем меньше продолжительность столкновения, тем больше тормозящая сила. Для уменьшения этой силы надо, чтобы торможение происходило постепенно. Вот почему при прыжках в высоту спортсмены приземляются на мягкие маты. Прогибаясь, они постепенно тормозят спортсмена. Формула (3) может быть обобщена и на тот случай, когда сила меняется во времени. Для этого весь промежуток времени Δt действия силы надо разделить на столь малые интервалы Δt i , чтобы на каждом из них значение силы без большой ошибки можно было считать постоянным. Для каждого малого интервала времени справедлива формула (3). Суммируя изменения импульсов за малые интервалы времени, получим:

\(~\Delta \vec p = \sum^{N}_{i=1}{\vec F_i \Delta t_i}\) . (4)

Символ Σ (греческая буква «сигма») означает «сумма». Индексы i = 1 (внизу) и N (наверху) означают, что суммируется N слагаемых.

Для нахождения импульса тела поступают так: мысленно разбивают тело на отдельные элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом их суммируют как векторы.

Импульс тела равен сумме импульсов его отдельных элементов.

Изменение импульса системы тел. Закон сохранения импульса

При рассмотрении любой механической задачи мы интересуемся движением определенного числа тел. Совокупность тел, движение которой мы изучаем, называется механической системой или просто системой.

Изменение импульса системы тел

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. Это могут быть три звезды, испытывающие воздействие со стороны соседних космических тел. На тела системы действуют внешние силы \(~\vec F_i\) (i - номер тела; например, \(~\vec F_2\) - это сумма внешних сил, действующих на тело номер два). Между телами действуют силы \(~\vec F_{ik}\) называемые внутренними силами (рис. 1). Здесь первая буква i в индексе означает номер тела, на которое действует сила \(~\vec F_{ik}\) , а вторая буква k означает номер тела, со стороны которого действует данная сила. На основании третьего закона Ньютона

\(~\vec F_{ik} = - \vec F_{ki}\) . (5)

Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (3):

\(~\Delta (m_1 \vec \upsilon_1) = (\vec F_{12} + \vec F_{13} + \vec F_1) \Delta t\) , \(~\Delta (m_2 \vec \upsilon_2) = (\vec F_{21} + \vec F_{23} + \vec F_2) \Delta t\) , (6) \(~\Delta (m_3 \vec \upsilon_3) = (\vec F_{31} + \vec F_{32} + \vec F_3) \Delta t\) .

Здесь в левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела \(~\vec p_i = m_i \vec \upsilon_i\) за малое время Δt . Более подробно\[~\Delta (m_i \vec \upsilon_i) = m_i \vec \upsilon_{ik} - m_i \vec \upsilon_{in}\] где \(~\vec \upsilon_{in}\) - скорость в начале, а \(~\vec \upsilon_{ik}\) - в конце интервала времени Δt .

Сложим левые и правые части уравнений (6) и покажем, что сумма изменений импульсов отдельных тел равна изменению суммарного импульса всех тел системы, равного

\(~\vec p_c = m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3\) . (7)

Действительно,

\(~\Delta (m_1 \vec \upsilon_1) + \Delta (m_2 \vec \upsilon_2) + \Delta (m_3 \vec \upsilon_3) = m_1 \vec \upsilon_{1k} - m_1 \vec \upsilon_{1n} + m_2 \vec \upsilon_{2k} - m_2 \vec \upsilon_{2n} + m_3 \vec \upsilon_{3k} - m_3 \vec \upsilon_{3n} =\) \(~=(m_1 \vec \upsilon_{1k} + m_2 \vec \upsilon_{2k} + m_3 \vec \upsilon_{3k}) -(m_1 \vec \upsilon_{1n} + m_2 \vec \upsilon_{2n} + m_3 \vec \upsilon_{3n}) = \vec p_{ck} - \vec p_{cn} = \Delta \vec p_c\) .

Таким образом,

\(~\Delta \vec p_c = (\vec F_{12} + \vec F_{13} + \vec F_{21} + \vec F_{23} + \vec F_{31} + \vec F_{32} + \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3) \Delta t\) . (8)

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль, так как согласно формуле (5)

\(~\vec F_{12} = - \vec F_{21} ; \vec F_{13} = - \vec F_{31} ; \vec F_{23} = - \vec F_{32}\) .

Поэтому изменение импульса системы тел равно импульсу внешних сил:

\(~\Delta \vec p_c = (\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3) \Delta t\) . (9)

Мы пришли к важному выводу:

импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы.

Уравнение (9) справедливо для любого интервала времени, если сумма внешних сил остается постоянной.

Закон сохранения импульса

Из уравнения (9) вытекает чрезвычайно важное следствие. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то равно нулю и изменение импульса системы\[~\Delta \vec p_c = 0\] . Это означает, что, какой бы интервал времени мы ни взяли, суммарный импульс в начале этого интервала \(~\vec p_{cn}\) и в его конце \(~\vec p_{ck}\) один и тот же\[~\vec p_{cn} = \vec p_{ck}\] . Импульс системы остается неизменным, или, как говорят, сохраняется:

\(~\vec p_c = m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3 = \operatorname{const}\) . (10)

Закон сохранения импульса формулируется так:

если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, то импульс системы сохраняется.

Тела могут только обмениваться импульсами, суммарное же значение импульса не изменяется. Надо только помнить, что сохраняется векторная сумма импульсов, а не сумма их модулей.

Как видно из проделанного нами вывода, закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой или изолированной. В замкнутой системе тел импульс сохраняется. Но область применения закона сохранения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю, импульс системы все равно сохраняется.

Полученный результат легко обобщается на случай системы, содержащей произвольное число N тел:

\(~m_1 \vec \upsilon_{1n} + m_2 \vec \upsilon_{2n} + m_3 \vec \upsilon_{3n} + \ldots + m_N \vec \upsilon_{Nn} = m_1 \vec \upsilon_{1k} + m_2 \vec \upsilon_{2k} + m_3 \vec \upsilon_{3k} + \ldots + m_N \vec \upsilon_{Nk}\) . (11)

Здесь \(~\vec \upsilon_{in}\) - скорости тел в начальный момент времени, а \(~\vec \upsilon_{ik}\) - в конечный. Так как импульс - величина векторная, то уравнение (11) представляет собой компактную запись трех уравнений для проекций импульса системы на координатные оси.

Когда выполняется закон сохранения импульса?

Все реальные системы, конечно, не являются замкнутыми, сумма внешних сил довольно редко может оказаться равной нулю. Тем не менее в очень многих случаях закон сохранения импульса можно применять.

Если сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций сил на какое-то направление, то проекция импульса системы на это направление сохраняется. Например, система тел на Земле или вблизи ее поверхности не может быть замкнутой, так как на все тела действует сила тяжести, которая изменяет импульс по вертикали согласно уравнению (9). Однако вдоль горизонтального направления сила тяжести не может изменять импульс, и сумма проекций импульсов тел на горизонтально направленную ось будет оставаться неизменной, если действием сил сопротивления можно пренебречь.

Кроме того, при быстрых взаимодействиях (взрыв снаряда, выстрел из орудия, столкновения атомов и т. п.) изменение импульсов отдельных тел будет фактически обусловлено только внутренними силами. Импульс сис-темы сохраняется при этом с большой точностью, ибо такие внешние силы, как сила тяготения и сила трения, зависящая от скорости, заметно не изменяет импульса системы. Они малы по сравнению с внутренними силами. Так, скорость осколков снаряда при взрыве в зависимости от калибра может изменяться в пределах 600 - 1000 м/с. Интервал времени, за который сила тяжести смогла бы сообщить телам такую скорость, равен

\(~\Delta t = \frac{m \Delta \upsilon}{mg} \approx 100 c\)

Внутренние же силы давления газов сообщают такие скорости за 0,01 с, т.е. в 10000 раз быстрее.

Реактивное движение. Уравнение мещерского. Реактивная сила

Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела,

например при истечении продуктов сгорания из сопла реактивного летательного аппарата. При этом появляется так называемая реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Наблюдать реактивное движение очень просто. Надуйте детский резиновый шарик и отпустите его. Шарик стремительно взовьется вверх (рис. 2). Движение, правда, будет кратковременным. Реактивная сила действует лишь до тех пор, пока продолжается истечение воздуха.

Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она возникает без какого-либо взаимодействия с внешними телами. Происходит лишь взаимодействие между ракетой и вытекающей из нее струей вещества.

Сила же, сообщающая ускорение автомобилю или пешеходу на земле, пароходу на воде или винтовому самолету в воздухе, возникает только за счет взаимодействия этих тел с землей, водой или воздухом.

При истечении продуктов сгорания топлива они за счет давления в камере сгорания приобретают некоторую скорость относительно ракеты и, следовательно, некоторый импульс. Поэтому в соответствии с законом сохранения импульса сама ракета получает такой же по модулю импульс, но направленный в противоположную сторону.

Масса ракеты с течением времени убывает. Ракета в полете является телом переменной массы. Для расчета ее движения удобно применить закон сохранения импульса.

Уравнение Мещерского

Выведем уравнение движения ракеты и найдем выражение для реактивной силы. Будем считать, что скорость вытекающих из ракеты газов относительно ракеты постоянна и равна \(~\vec u\) . Внешние силы на ракету не действуют: она находится в космическом пространстве вдали от звезд и планет.

Пусть в некоторый момент времени скорость ракеты относительно инерциальной системы, связанной со звездами, равна \(~\vec \upsilon\) (рис. 3), а масса ракеты равна М . Через малый интервал времени Δt масса ракеты станет равной

\(~M_1 = M - \mu \Delta t\) ,

где μ - расход топлива (расходом топлива называется отношение массы сгоревшего топлива ко времени его сгорания).

За этот же промежуток времени скорость ракеты изменится на \(~\Delta \vec \upsilon\) и станет равной \(~\vec \upsilon_1 = \vec \upsilon + \Delta \vec \upsilon\) . Скорость истечения газов относительно выбранной инерциальной системы отсчета равна \(~\vec \upsilon + \vec u\) (рис. 4), так как до начала сгорания топливо имело ту же скорость, что и ракета.

Запишем закон сохранения импульса для системы ракета - газ:

\(~M \vec \upsilon = (M - \mu \Delta t)(\vec \upsilon + \Delta \vec \upsilon) + \mu \Delta t(\vec \upsilon + \vec u)\) .

Раскрыв скобки, получим:

\(~M \vec \upsilon = M \vec \upsilon - \mu \Delta t \vec \upsilon + M \Delta \vec \upsilon - \mu \Delta t \Delta \vec \upsilon + \mu \Delta t \vec \upsilon + \mu \Delta t \vec u\) .

Слагаемым \(~\mu \Delta t \vec \upsilon\) можно пренебречь по сравнению с остальными, так как оно содержит произведение двух малых величин (это величина, как говорят, второго порядка малости). После приведения подобных членов будем иметь:

\(~M \Delta \vec \upsilon = - \mu \Delta t \vec u\) или \(~M \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t} = - \mu \vec u\) . (12)

Это одно из уравнений Мещерского для движения тела переменной массы, полученное им в 1897 г.

Если ввести обозначение \(~\vec F_r = - \mu \vec u\) , то уравнение (12) совпадет по форме записи со вторым законом Ньютона. Однако масса тела М здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества.

Величина \(~\vec F_r = - \mu \vec u\) носит название реактивной силы . Она появляется вследствие истечения газов из ракеты, приложена к ракете и направлена противоположно скорости газов относительно ракеты. Реактивная сила определяется лишь скоростью истечения газов относительно ракеты и расходом топлива. Существенно, что она не зависит от деталей устройства двигателя. Важно лишь, чтобы двигатель обеспечивал истечение газов из ракеты со скоростью \(~\vec u\) при расходе топлива μ . Реактивная сила космических ракет достигает 1000 кН.

Если на ракету действуют внешние силы, то ее движение определяется реактивной силой и суммой внешних сил. В этом случае уравнение (12) запишется так:

\(~M \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t} = \vec F_r + \vec F\) . (13)

Реактивные двигатели

Широкое применение реактивные двигатели в настоящее время получили в связи с освоением космического пространства. Применяются они также для метеорологических и военных ракет различного радиуса действия. Кроме того, все современные скоростные самолеты оснащены воздушно-реактивными двигателями.

В космическом пространстве использовать какие-либо другие двигатели, кроме реактивных, невозможно: нет опоры (твердой, жидкой или газообразной), отталкиваясь от которой космический корабль мог бы получить ускорение. Применение же реактивных двигателей для самолетов и ракет, не выходящих за пределы атмосферы, связано с тем, что именно реактивные двигатели способны обеспечить максимальную скорость полета.

Реактивные двигатели делятся на два класса: ракетные и воздушно-реактивные .

В ракетных двигателях топливо и необходимый для его горения окислитель находятся непосредственно внутри двигателя или в его топливных баках.

На рисунке 5 показана схема ракетного двигателя на твердом топливе. Порох или какое-либо другое твердое топливо, способное к горению в отсутствие воздуха, помещают внутрь камеры сгорания двигателя.

При горении топлива образуются газы, имеющие очень высокую температуру и оказывающие давление на стенки камеры. Сила давления на переднюю стенку камеры больше, чем на заднюю, где расположено сопло. Вытекающие через сопло газы не встречают на своем пути стенку, на которую могли бы оказывать давление. В результате появляется сила, толкающая ракету вперед.

Суженная часть камеры - сопло служит для увеличения скорости истечения продуктов сгорания, что в свою очередь повышает реактивную силу. Сужение струи газа вызывает увеличение его скорости, так как при этом через меньшее поперечное сечение в единицу времени должна пройти такая же масса газа, что и при большем поперечном сечении.

Применяются также ракетные двигатели, работающие на жидком топливе.

В жидкостно-реактивных двигателях (ЖРД) в качестве горючего можно использовать керосин, бензин, спирт, анилин, жидкий водород и др., а в качестве окислителя, необходимого для горения, - жидкий кислород, азотную кислоту, жидкий фтор, пероксид водорода и др. Горючее и окислитель хранятся отдельно в специальных баках и с помощью насосов подаются в камеру, где при сгорании топлива развивается температура до 3000 °С и давление до 50 атм (рис. 6). В остальном двигатель работает так же, как и двигатель на твердом топливе.

Раскаленные газы (продукты сгорания), выходя через сопло, вращают газовую турбину, приводящую в движение компрессор. Турбокомпрессорные двигатели установлены в наших лайнерах Ту-134, Ил-62, Ил-86 и др.

Реактивными двигателями оснащены не только ракеты, но и большая часть современных самолетов.

Успехи в освоении космического пространства

Основы теории реактивного двигателя и научное доказательство воз-можности полетов в межпланетном пространстве были впервые высказаны и разработаны русским ученым К.Э. Циолковским в работе «Исследование мировых пространств реактивными приборами».

К.Э. Циолковскому принадлежит также идея применения многоступенчатых ракет. Отдельные ступени, из которых составлена ракета, снабжаются собственными двигателями и запасом топлива. По мере выгорания топлива каждая очередная ступень отделяется от ракеты. Поэтому в дальнейшем на ускорение ее корпуса и двигателя топливо не расходуется.

Идея Циолковского о сооружении большой станции-спутника на орбите вокруг Земли, с которой будут стартовать ракеты к другим планетам Солнечной системы, еще не осуществлена, но нет сомнения в том, что рано или поздно такая станция будет создана.

В настоящее время становится реальностью пророчество Циолковского: «Человечество не останется вечно на Земле, но в погоне за светом и пространством сначала робко проникнет за пределы атмосферы, а затем завоюет себе все околосолнечное пространство».

Нашей стране принадлежит великая честь запуска 4 октября 1957 г. первого искусственного спутника Земли. Также впервые в нашей стране 12 апреля 1961 г. был осуществлен полет космического корабля с космонавтом Ю.А. Гагариным на борту.

Эти полеты были совершены на ракетах, сконструированных отечест-венными учеными и инженерами под руководством С.П. Королева. Большие заслуги в исследовании космического пространства имеют американские ученые, инженеры и астронавты. Два американских астронавта из экипажа космического корабля «Аполлон-11» - Нейл Армстронг и Эдвин Олдрин - 20 июля 1969 г. впервые совершили посадку на Луну. На космическом теле Солнечной системы человеком были сделаны первые шаги.

С выходом человека в космос не только открылись возможности исследования других планет, но и представились поистине фантастические возможности изучения природных явлений и ресурсов Земли, о которых можно было только мечтать. Возникло космическое природоведение. Раньше общая карта Земли составлялась по крупицам, как мозаичное панно. Теперь снимки с орбиты, охватывающие миллионы квадратных километров, позволяют выбирать для исследования наиболее интересные участки земной поверхности, экономя тем самым силы и средства- Из космоса лучше различаются крупные геологические структуры: плиты, глубинные разломы земной коры - места наиболее вероятного залегания полезных ископаемых. Из космоса удалось обнаружить новый тип геологических образований кольцевые структуры, подобные кратерам Луны и Марса,

Сейчас на орбитальных комплексах разработаны технологии получения материалов, которые нельзя изготовить на Земле, а только в состоянии длительной невесомости в космосе. Стоимость этих материалов (сверхчистые монокристаллы и др.) близка к затратам на запуск космических аппаратов.

Литература

1. Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. - М.: Дрофа, 2002. - 496 с.

Задачи с движущимися телами в физике, когда скорость много меньше световой, решаются с помощью законов ньютоновской, или классической механики. В ней одним из важных понятий является импульс. Основные в физике приводятся в данной статье.

Импульс или количество движения?

Прежде чем приводить формулы импульса тела в физике, познакомимся с этим понятием. Впервые величину под названием impeto (импульс) использовал в описании своих трудов Галилей в начале XVII века. Впоследствии Исаак Ньютон для нее употребил другое название - motus (движение). Поскольку фигура Ньютона оказала большее влияние на развитие классической физики, чем личность Галилея, изначально принято говорить не об импульсе тела, а о количестве движения.

Под количеством движения понимают произведение скорости перемещения тела на инерционный коэффициент, то есть на массу. Соответствующая формула имеет вид:

Здесь p¯ - вектор, направление которого совпадает с v¯, но модуль в m раз больше, чем модуль v¯.

Изменение величины p¯

Понятие о количестве движения в настоящее время используют реже, чем об импульсе. И связан этот факт непосредственно с законами ньютоновской механики. Запишем его в форме, которая приводится в школьных учебниках по физике:

Заменим ускорение a¯ на соответствующее выражение с производной скорости, получим:

Перенося dt из знаменателя правой части равенства в числитель левой, получаем:

Мы получили интересный результат: помимо того, что действующая сила F¯ приводит к ускорению тела (см. первую формулу этого пункта), она также изменяет количество его движения. Произведение силы на время, которое стоит в левой части, называется импульсом силы. Он оказывается равным изменению величины p¯. Поэтому последнее выражение называют также формулой импульса в физике.

Заметим, что dp¯ - это тоже но направлена она в отличие от p¯ не как скорость v¯, а как сила F¯.

Ярким примером изменения вектора количества движения (импульса) является ситуация, когда футболист бьет по мячу. До удара мяч двигался к футболисту, после удара - от него.

Закон сохранения импульса

Формулы в физике, которые описывают сохранение величины p¯, могут быть приведены в нескольких вариантах. Прежде чем их записывать, ответим на вопрос о том, когда сохраняется импульс.

Обратимся к выражению из предыдущего пункта:

Оно говорит о том, что если сумма внешних сил, оказывающих воздействие на систему, равна нулю (закрытая система, F¯= 0), тогда dp¯= 0, то есть никакого изменения количества движения не будет происходить:

Это выражение является общим для импульса тела и закона сохранения импульса в физике. Отметим два важных момента, о которых следует знать, чтобы с успехом применять это выражение на практике:

• Импульс сохраняется вдоль каждой координаты, то есть если до некоторого события значение p x системы составляло 2 кг*м/c, то после этого события оно будет таким же.
• Импульс сохраняется независимо от характера столкновений твердых тел в системе. Известно два идеальных случая таких столкновений: абсолютно упругий и абсолютно пластичный удары. В первом случае сохраняется также кинетическая энергия, во втором часть ее расходуется на пластическую деформацию тел, однако импульс сохраняется все равно.

Упругое и неупругое взаимодействие двух тел

Частным случаем использования формулы импульса в физике и его сохранения является движение двух тел, которые сталкиваются друг с другом. Рассмотрим два принципиально разных случая, о которых упоминалось в пункте выше.

Если удар будет абсолютно упругим, то есть передача импульса от одного тела к другому осуществляется посредством упругой деформации, тогда формула сохранения p запишется так:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2

Здесь важно помнить, что знак скорости должен подставляться с учетом ее направления вдоль рассматриваемой оси (противоположные скорости имеют разные знаки). Эта формула показывает, что при условии известного начального состояния системы (величины m 1 , v 1 , m 2 , v 2) в конечном состоянии (после столкновения) имеется две неизвестных (u 1 , u 2). Найти их можно, если воспользоваться соответствующим законом сохранения кинетической энергии:

m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2

Если удар абсолютно неупругий или пластический, то после столкновения два тела начинают двигаться как единое целое. В этом случае имеет место выражение:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2)*u

Как видно, речь идет всего об одной неизвестной (u), поэтому для ее определения достаточно этого одного равенства.

Импульс тела во время движения по окружности

Все, что было сказано выше об импульсе, относится к линейным перемещениям тел. Как быть в случае вращения объектов вокруг оси? Для этого в физике введено другое понятие, которое аналогично линейному импульсу. Оно называется моментом импульса. Формула в физике для него принимает следующий вид:

Здесь r¯ - вектор, равный расстоянию от оси вращения до частицы с импульсом p¯, совершающей круговые движения вокруг этой оси. Величина L¯ - это тоже вектор, но рассчитать его несколько сложнее, чем p¯, поскольку речь идет о векторном произведении.

Закон сохранения L¯

Формула для L¯, которая приведена выше, является определением этой величины. На практике же предпочитают использовать несколько иное выражение. Не будем вдаваться в подробности его получения (это несложно, и каждый может проделать это самостоятельно), а приведем его сразу:

Здесь I - это момент инерции (для материальной точки он равен m*r 2), который описывает инерционные свойства вращающегося объекта, ω¯ - скорость угловая. Как можно заметить, это уравнение аналогично по форме записи такового для линейного импульса p¯.

Если на вращающую систему не действуют никакие внешние силы (в действительности момент сил), то произведение I на ω¯ будет сохраняться независимо от процессов, происходящих внутри системы. То есть закон сохранения для L¯ имеет вид:

Примером его проявления является выступление спортсменов в фигурном катании, когда они совершают вращения на льду.