Теория нахождение числа по его проценту. Калькулятор онлайн.Найти число, зная чему равен указанный процент от него
В процессе решения задач 149–156 надо подвести учащихся к пониманию правила нахождения части числа:
Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на ее числитель.
Разумеется, это правило учащиеся могут формулировать лишь для конкретных ситуаций: чтобы найти 3 / 4 числа 24, можно это число разделить на знаменатель дроби 4 и полученный результат умножить на числитель 3.
149 . а) На ветке сидели 12 птиц; 2 / 3 их числа улетели. Сколько птиц улетело?
б) В классе 32 учащихся; 3 / 4 всех учащихся каталось на лыжах. Сколько учащихся каталось на лыжах?
150 . а) Велосипедисты за два дня проехали 48 км . В первый день они проехали 2 / 3 всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?
б) Некто, имея 350 рублей, потратил 5 / 7 своих денег. Сколько денег у него осталось?
в) В тетради 24 страницы. Девочка исписала 5 / 8 числа всех страниц тетради. Сколько осталось неисписанных страниц?
151 . Старинная задача . Купивши комод за 36 р. , я потом вынужден был продать его за 7 / 12 цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?
152 . Автотуристы за три дня проехали 360 км ; в первый день они проехали 2 / 5 , а во второй день - 3 / 8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?
153 . 1) В драмкружке занимаются 24 девочки и несколько мальчиков. Число мальчиков составляет 3 / 8 числа девочек. Сколько учащихся занимается в драмкружке?
2) В коллекции имеется 45 юбилейных рублевых монет. Число 3-х и 5-ти рублевых монет составляет 2 / 9 числа рублевых монет. Сколько всего юбилейных монет в 1, 3 и 5 рублей в коллекции?
Задачи 154–156 учащиеся должны решать, находя сначала указанную часть величины, а потом увеличивая или уменьшая эту величину на найденную часть. Другой способ решения будет показан позже.
154 . 1) Уменьшите 90 рублей на 1 / 10 этой суммы.
2) Увеличьте 80 рублей на 2/5 этой суммы.
155 . В прошлом месяце цена товара составляла 90 р. Теперь она понизилась на 3 / 10 этой суммы. Какова теперь цена товара?
156 . В прошлом месяце зарплата составляла 400 р. Теперь она увеличилась на 2 / 5 этой суммы. Какова теперь зарплата?
В процессе решения задач 157–158 и следующих задач нужно подвести учащихся к пониманию и правильному применению правила нахождения числа по его части:
Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на числитель дроби и полученный результат умножить на ее знаменатель.
Формулировка этого правила сложна из-за необходимости
как-то называть число, которое у нас названо «
частью»
. Эту трудность вынуждены обходить и авторы учебников. Так в учебнике И.В. Барановой и З.Г. Борчуговой правило формулируется лишь для конкретных случаев: чтобы найти число,
3 / 5 которого составляют 90 км, надо 90 км разделить на числитель дроби 3 и полученный результат умножить на знаменатель дроби 5.
Именно в таком виде им могут пользоваться учащиеся. Правда, говоря о числе, лучше не использовать наименований, так как число и величина не одно и то же. Позднее в том же учебнике на с. 226 формулируется общее правило, в котором применяемому нами термину « часть» соответствует оборот « число, ей соответствующее» , что вряд ли проще .
157 . а) 120 р. составляют 3 / 4 имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?
б) Определите длину отрезка, 3 / 5 которого равны 15 см.
158 . а) Сыну 10 лет. Его возраст составляет 2 / 7 возраста отца. Сколько лет отцу?
б) Дочери 12 лет. Ее возраст составляет 2 / 5 возраста матери. Сколько лет матери?
На покупку овощей хозяйка израсходовала 6 р. , что составило 1 / 6 имевшихся у нее денег. Затем она купила 2 кг яблок по 7 р. за килограмм. Сколько денег у нее осталось после этих покупок?
160 . Отец купил сыну костюм за 24 р. , на что израсходовал 1 / 3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги?
161 . Сыну 8 лет, его возраст составляет 2 / 9 возраста отца. А возраст отца составляет 3 / 5 возрастадедушки. Сколько лет дедушке?
162 .* Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 г. до н. э.).
Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
Я привожу две трети от трети скота. Сочти!
Сколько быков в стаде?
Правило нахождения числа по его дроби :
Чтобы найти число по данному значению его дроби, нужно это значение разделить на дробь.
Рассмотрим, как найти число по его дроби, на конкретных примерах.
Примеры .
1) Найти число, 3/4 которого равны 12.
Чтобы найти число по его дроби, это число делим на эту дробь. Чтобы, надо данное число умножить на число, обратное к дроби (то есть на перевернутую дробь). Чтобы , надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. 12 и 3 на 3. Так как в знаменателе получили единицу, ответ — целое число.
2) Найти число, если 9/10 его равняются 3/5.
Чтобы найти число по данному значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Чтобы разделить дробь на дробь, первую дробь умножаем на обратную ко второй (перевернутую). Чтобы умножить дробь на дробь, числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Сокращаем 10 и 5 на 5, 3 и 9 — на 3. В результате получили правильную несократимую дробь, значит это — окончательный результат.
3) Найти число, 9/7 которого равны
Чтобы найти число по значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Смешанное число и умножаем его на число, обратное ко второму (перевернутую дробь). Сокращаем 99 и 9 на 9, 7 и 14 — на 7. Поскольку получили неправильную дробь, необходимо выделить из нее целую часть.
На этом уроке рассмотрим типы задач на доли и проценты. Научимся решать эти задачи и выясним, с какими из них мы можем столкнуться в реальной жизни. Узнаем общий алгоритм для решения подобных задач.
Мы не знаем, какое было число изначально, но знаем, сколько получилось, когда от него взяли некую дробь. Нужно найти исходное.
То есть мы не знаем , но знаем и .
Пример 4
Дедушка своей жизни провел в деревне, что составило 63 года. Сколько лет дедушке?
Нам неизвестно исходное число - возраст. Но мы знаем долю и сколько лет эта доля составляет от возраста. Составляем равенство. Оно имеет вид уравнения с неизвестной . Выражаем и находим его.
Ответ: 84 года.
Не очень реалистичная задача. Вряд ли дедушка будет выдавать такую информацию о своих годах жизни.
А вот следующая ситуация очень распространена.
Пример 5
Скидка в магазине по карте 5 %. Покупатель получил скидку 30 рублей. Какова была стоимость покупки до скидки?
Мы не знаем изначального числа - стоимости покупки. Но знаем дробь (проценты, которые написаны на карте) и сколько составила скидка.
Составляем нашу стандартную строчку. Выражаем неизвестную величину и находим ее.
Ответ: 600 рублей.
Пример 6
Еще чаще мы сталкиваемся с такой задачей. Мы видим не величину скидки, а какая получилась стоимость после применения скидки. А вопрос тот же: сколько бы мы заплатили без скидки?
Пусть у нас опять 5%-я дисконтная карта. Мы показали на кассе карту и заплатили 1140 рублей. Какова стоимость без скидки?
Чтобы решить задачу в один прием, чуть переформулируем ее. Раз у нас 5%-я скидка, то сколько мы платим от полной цены? 95 %.
То есть нам неизвестна исходная стоимость, но мы знаем, что 95 % от нее составляет 1140 рублей.
Применяем алгоритм. Получаем начальную стоимость.
3. Интернет-сайт «Математика Онлайн» ()
Домашнее задание
1. Математика. 6 класс/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2011. Стр. 104-105. п.18. № 680; № 683; № 783 (а, б)
2. Математика. 6 класс/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2011. № 656.
3. В программе спортивных школьных соревнований были прыжки в длину, прыжки в высоту и бег. В соревнованиях по бегу приняли участие всех участников соревнований, в прыжках в длину - 30 % всех участников, и в соревнованиях по прыжкам в высоту - оставшиеся 34 ученика. Найдите число участников соревнований.
Проценты - одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%, промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.
Одним процентом от любой величины - денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. - называется одна сотая ее часть.
Обозначается
процент знаком %, Таким образом,
1% - это 0,01, или \(\frac{1}{100} \) часть величины
Приведем примеры:
- 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) - это 2300/100 = 23 рубля;
- 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), - это 1,45 млн. человек;
- 3%-я концентрация раствора соли - это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора - это часть, которую
составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).
Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.
Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Это словосочетание можно встретить и в современной речи. Например, говорят: "Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы". Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова "процент": 7% - это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.
Знак "%" получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали "cto" (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это "с/о" за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.
Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.
Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:
\(58\% = \frac{58}{100} = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac{200}{100} = 2 \)Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить
на 100:
В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т.д.
Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%" и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раз" говорится об одном и том же. Точно так же увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза - это значит увеличить на 200%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%.
Аналогично
- увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,
- уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.
Задачи на проценты
Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть b выражается числом p%.
В зависимости от того, что неизвестно - а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.
1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти \(\frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \(\frac{p}{100} \):
Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \(\frac{p}{100} \). Например, 20% от 45 кг равны 45 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18x
2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \(\frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \(\frac{p}{100} \):
\(a = b: \frac{p}{100} \)
3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \((a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а
затем эту часть выразить в процентах:
Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют \(\frac{9 \cdot 100}{180} = 5\% \) раствора.
Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.
Нетрудно заметить, что формулы
\(b = a \cdot \frac{p}{100}, \;\; a = b: \frac{p}{100}, \;\; p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \;\; (a,b,p \neq 0) \) взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании, можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.
Простой процентный рост
Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роеnа - наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 0,019 = 19 р., а всего 1019 р.
Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.
Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму,
которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S n .
Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \(\frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить
\(S + \frac{pn}{100}S = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Таким образом:
\(S_n = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов.
Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
\(S_n = \left(1- \frac{pn}{100} \right) S \)
Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае "отрицательный".
Сложный процентный рост
В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход - "проценты", как его обычно называют.
Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.
Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех лет не будет брать деньги со счета.
10% от 1000 р. составляют 0,1 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)
10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)
10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, "лобовом" подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.
А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 2 раз.
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 2 = 1,1 3 раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (р.)
Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна S n р.
Величина p% от S составляет \(\frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма
\(S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S \)
то есть начальная сумма увеличится в \(1+ \frac{p}{100} \) раз.
За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
\(S_2 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left(1+ \frac{p}{100} \right) \left(1+ \frac{p}{100} \right)S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)
Аналогично \(S_3 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т.д. Другими словами, справедливо равенство
\(S_n = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^n S \)
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста , или просто формулой сложных процентов.
